Calcule a integral usando a noção de área:
\int_{0}^{7} g(t) d t, sendo g(t)= \begin{cases}2 t+1 & \text { se } 0 \leq t \leq 2 \\\\ 1-t & \text { se } 2<t<4 \\\ t-5 & \text { se } 4 \leq t \leq 7\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{7} g(t)\,dt
onde g(t)\) é a função por partes \[g(t)= \begin{cases} 2t+1 & \text{se } 0 \le t \le 2,\\[4pt] 1-t & \text{se } 2 < t < 4,\\[4pt] t-5 & \text{se } 4 \le t \le 7. \end{cases}
As perguntas implícitas são: dividir o intervalo [0,7]\] seguindo as peças da função e somar as contribuições (lembre que a integral é uma área assinada, ou seja, regiões abaixo do eixo \(t contam negativas).
Valores úteis (avaliados nos extremos dos subintervalos; observe que pontos isolados não mudam a integral):
  • g(0)=2\cdot0+1=1.
  • g(2) visto pelo ramo da esquerda é 2\cdot2+1=5; pelo ramo da direita a função tende a 1-2=-1. Isso é uma descontinuidade num ponto, mas esse ponto único não afeta a integral.
  • g(4) pelo terceiro ramo vale 4-5=-1; pelo segundo ramo a tendência em 4^- é 1-4=-3.
  • g(5)=5-5=0.
  • g(7)=7-5=2.]

Passo 2

Conceito que vamos usar (noção de área): a integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx representa a área assinada entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [a,b]. Para funções lineares no intervalo [a,b] (reta entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b))) essa área pode ser calculada pela área de um trapézio:
\text{Área}=(b-a)\,\frac{f(a)+f(b)}{2}.Á
Se a função estiver inteiramente abaixo do eixo neste intervalo, essa fórmula dá uma área negativa (porque f(a)+f(b) será negativo). Também podemos dividir em triângulos/retângulos quando for mais intuitivo. Usaremos a fórmula do trapézio porque cada trecho é linear.
Observação importante: se a função tem descontinuidade em um ponto isolado (como em t=2 aqui), isso não altera a integral, pois um ponto tem medida zero.

Passo 3

Calcular a contribuição no intervalo [0,2] onde g(t)=2t+1.
Alturas nas extremidades:
g(0)=1,\qquad g(2)=5.
Base =2-0=2. Aplicando a fórmula do trapézio:
\int_{0}^{2} g(t)\,dt = (2)\cdot\frac{1+5}{2} = 2\cdot 3 = 6.
Interpretação: área positiva (gráfico acima do eixo), valendo 6.

Passo 4

Calcular a contribuição no intervalo [2,4] onde g(t)=1-t.
Alturas nas extremidades (usando os limites dentro desse ramo):
\lim_{t\to 2^+}g(t)=1-2=-1,\qquad \lim_{t\to 4^-}g(t)=1-4=-3.
Base =4-2=2. Aplicando a fórmula do trapézio:
\int_{2}^{4} g(t)\,dt = 2\cdot\frac{-1+(-3)}{2} = 2\cdot\frac{-4}{2} = 2\cdot(-2) = -4.
Interpretação: área negativa (gráfico abaixo do eixo), magnitude 4.

Passo 5

Calcular a contribuição no intervalo [4,7] onde g(t)=t-5.
Alturas nas extremidades:
g(4)=4-5=-1,\qquad g(7)=7-5=2.
Base =7-4=3. Aplicando a fórmula do trapézio:
\int_{4}^{7} g(t)\,dt = 3\cdot\frac{-1+2}{2} = 3\cdot\frac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.
Comentário adicional (intuição geométrica): entre 4 e 5 a função está abaixo do eixo (triângulo de área \tfrac{1}{2} negativa) e entre 5 e 7 está acima (triângulo de área 2 positiva); 2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Somar as três contribuições (lembre que são áreas assinadas):
\int_{0}^{7} g(t)\,dt = \int_{0}^{2} g(t)\,dt + \int_{2}^{4} g(t)\,dt + \int_{4}^{7} g(t)\,dt = 6 + (-4) + \tfrac{3}{2}.
Fazendo as contas:
6-4+\tfrac{3}{2} = 2 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{4}{2} + \tfrac{3}{2} = \tfrac{7}{2}.

Resposta

\tfrac{7}{2}

Exercícios relacionados