\int_{0}^{7} g(t) d t, sendo g(t)= \begin{cases}2 t+1 & \text { se } 0 \leq t \leq 2 \\\\ 1-t & \text { se } 2<t<4 \\\ t-5 & \text { se } 4 \leq t \leq 7\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{7} g(t)\,dt
onde g(t)\) é a função por partes
\[g(t)= \begin{cases} 2t+1 & \text{se } 0 \le t \le 2,\\[4pt] 1-t & \text{se } 2 < t < 4,\\[4pt] t-5 & \text{se } 4 \le t \le 7. \end{cases}
As perguntas implícitas são: dividir o intervalo [0,7]\] seguindo as peças da função e somar as contribuições (lembre que a integral é uma área assinada, ou seja, regiões abaixo do eixo \(t contam negativas).
Valores úteis (avaliados nos extremos dos subintervalos; observe que pontos isolados não mudam a integral):
g(0)=2\cdot0+1=1.
g(2) visto pelo ramo da esquerda é 2\cdot2+1=5; pelo ramo da direita a função tende a 1-2=-1. Isso é uma descontinuidade num ponto, mas esse ponto único não afeta a integral.
g(4) pelo terceiro ramo vale 4-5=-1; pelo segundo ramo a tendência em 4^- é 1-4=-3.
g(5)=5-5=0.
g(7)=7-5=2.]
Passo 2
Conceito que vamos usar (noção de área): a integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx representa a área assinada entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [a,b]. Para funções lineares no intervalo [a,b] (reta entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b))) essa área pode ser calculada pela área de um trapézio:
\text{Área}=(b-a)\,\frac{f(a)+f(b)}{2}.Á
Se a função estiver inteiramente abaixo do eixo neste intervalo, essa fórmula dá uma área negativa (porque f(a)+f(b) será negativo). Também podemos dividir em triângulos/retângulos quando for mais intuitivo. Usaremos a fórmula do trapézio porque cada trecho é linear.
Observação importante: se a função tem descontinuidade em um ponto isolado (como em t=2 aqui), isso não altera a integral, pois um ponto tem medida zero.
Passo 3
Calcular a contribuição no intervalo [0,2] onde g(t)=2t+1.
Comentário adicional (intuição geométrica): entre 4 e 5 a função está abaixo do eixo (triângulo de área \tfrac{1}{2} negativa) e entre 5 e 7 está acima (triângulo de área 2 positiva); 2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Passo 6
Somar as três contribuições (lembre que são áreas assinadas):