Sabendo que tan x=sin xcos x, sec x=1cos x e csc x=1sin x. Calcule as derivadas:
tan x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de tan x, sabendo que tan x = dfracsin xcos x. Vamos usar a regra do quociente e as derivadas básicas de sin x e cos x.

Passo 2

Recordando as derivadas:
ddxsin x = cos x, ddxcos x = -sin x
e a regra do quociente para u(x)/v(x):
ddxl(uvr) = u'v - uv'v^2

Passo 3

Identificamos u(x)=sin x e v(x)=cos x, logo u'=cos x e v'=-sin x. Aplicando a regra do quociente:
ddxtan x = cos xcdotcos x ;-;sin xcdot(-sin x)cos^2 x = cos^2 x + sin^2 xcos^2 x

Passo 4

Como cos^2 x + sin^2 x = 1, temos
ddxtan x = 1cos^2 x

Passo 5

Reconhecendo que sec x = dfrac1cos x, concluímos
ddxtan x = sec^2 x

Resposta

sec^2 x

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