Sabendo-se que para toda matriz,
existe uma matriz,
tal que
, mostre que: se
matriz
então existe uma única
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz quadrada
, chamada
, que é inversível, ou seja, seu determinante
. Sabemos que existe uma matriz inversa
tal que
, onde
é a matriz identidade. O exercício quer que a gente mostre que, se tem outra matriz
também
com
, então existe uma única matriz
que satisfaz
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa, quando ela existe, e por que ela é única. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e propriedades das matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz quadrada
é invertível se existe outra matriz
tal que:
Isso quer dizer que
“desfaz” a multiplicação por
, retornando à matriz identidade.
Sabemos que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero, ou seja,
. Esse é um critério fundamental porque, se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que essa matriz inversa
é única. Para isso, vamos supor que existam duas matrizes inversas de
, chamadas
e
, que satisfazem:
Nosso objetivo é provar que
.
Passo 4
Vamos usar a propriedade associativa da multiplicação de matrizes. Observe o seguinte:
Isso mostra que
e
são a mesma matriz. Portanto, a inversa de
é única.
Resposta
Assim, mostramos que se
para uma matriz
, então existe uma única matriz inversa
que satisfaz
.