Sabendo-se que para toda matriz, n times n, A com det(A) neq 0 existe uma matriz, n times n, barA tal que barA A=In, mostre que: se det(B) neq 0(B matriz n times n) então existe uma única B^-1 tal que B B^-1=B^-1 B=In.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz quadrada n times n, chamada A, que é inversível, ou seja, seu determinante det(A) neq 0. Sabemos que existe uma matriz inversa barA tal que barA A = In, onde In é a matriz identidade. O exercício quer que a gente mostre que, se tem outra matriz B também n times n com det(B) neq 0, então existe uma única matriz B^-1 que satisfaz B B^-1 = B^-1 B = In.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz inversa, quando ela existe, e por que ela é única. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e propriedades das matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz quadrada B é invertível se existe outra matriz B^-1 tal que:
B B^-1 = B^-1 B = In
Isso quer dizer que B^-1 “desfaz” a multiplicação por B, retornando à matriz identidade.
Sabemos que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero, ou seja, det(B) neq 0. Esse é um critério fundamental porque, se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que essa matriz inversa B^-1 é única. Para isso, vamos supor que existam duas matrizes inversas de B, chamadas C e D, que satisfazem:
B C = C B = In B D = D B = In
Nosso objetivo é provar que C = D.

Passo 4

Vamos usar a propriedade associativa da multiplicação de matrizes. Observe o seguinte:
C = C cdot In (porque qualquer matriz vezes a identidade é ela mesma) C = C cdot (B D) (já que $B D = In$) C = (C B) D (associatividade) C = In D (pois $C B = In$) C = D (pois $In D = D$) éá
Isso mostra que C e D são a mesma matriz. Portanto, a inversa de B é única.

Resposta

Assim, mostramos que se det(B) neq 0 para uma matriz n times n, então existe uma única matriz inversa B^-1 que satisfaz B B^-1 = B^-1 B = In.

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