Considere a matriz A=[lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2]. Calcule o det(A^n), para todo número natural n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 e precisa calcular o determinante de para qualquer número natural . A matéria envolvida aqui é de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes e propriedades deles. Vamos precisar conhecer a propriedade que relaciona o determinante de uma matriz elevada a uma potência com o determinante da matriz original.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade importante dos determinantes: para qualquer matriz quadrada det(A^n) = (det A)^n e qualquer número natural , o determinante de é igual ao determinante de elevado à -ésima potência. Matematicamente, isso é escrito como:
Então, nossa tarefa agora é calcular .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 :
det A = 1(1 cdot 2 - 2 cdot 1) - 2(1 cdot 2 - 2 cdot 0) + 3(1 cdot 1 - 1 cdot 0)
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
Aplicando a regra de Sarrus:
= 1(2 - 2) - 2(2 - 0) + 3(1 - 0)
Calculando cada parte:
= 1(0) - 2(2) + 3(1)
= 0 - 4 + 3
= -1
Então, .

Resposta

Portanto, o determinante de é .

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