Sabendo-se que para toda matriz, n \times n, A \operatorname{com} \operatorname{det}(A) \neq 0 existe uma matriz, n \times n, \bar{A} tal que \bar{A} A=I_{n}, mostre que:
a) se B e C são matrizes n \times n e B C=I_{n} então C B=I_{n}.
b) se \operatorname{det}(B) \neq 0 ( B matriz n \times n ) então existe uma única B^{-1} tal que B B^{-1}=B^{-1} B=I_{n}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, usando a hipótese conhecida: para toda matriz n\times n A com \det(A)\neq0 existe uma matriz \overline{A} tal que \overline{A}A=I_n.
As perguntas são:
(a) Se B e C são matrizes n\times n e BC=I_n, mostrar que CB=I_n.
(b) Se \det(B)\neq0 (com B n\times n), mostrar que existe uma única B^{-1} tal que BB^{-1}=B^{-1}B=I_n.
Informações relevantes dadas:
  • Produto de determinantes: para quaisquer matrizes quadradas X,Y vale \det(XY)=\det(X)\det(Y).
  • Determinante da identidade: \det(I_n)=1.
  • Para qualquer A quadrada com \det(A)\neq0 existe \overline{A} tal que \overline{A}A=I_n (hipótese dada).

Passo 2

Começando por (a): suponha que B e C são n\times n e que
BC=I_n.
Vou usar a propriedade dos determinantes para obter informação sobre \det(B) e \det\text{(C)}. Aplicando determinante aos dois lados:
\det(BC)=\det(I_n).
Pela propriedade do produto de determinantes isso dá
\det(B)\det\text{(C)}=1.
Como o produto de dois números é 1, ambos os fatores são diferentes de zero. Logo
\det(B)\neq0\qquad\text{e}\qquad\det\text{(C)}\neq0.

Passo 3

Ainda em (a): como \det(B)\neq0, pela hipótese do enunciado existe uma matriz \overline{B} tal que
\overline{B}B=I_n.
Agora multiplico a igualdade BC=I_n à esquerda por \overline{B}. Pela associatividade do produto de matrizes:
\overline{B}(BC) = \overline{B}I_n.
O lado esquerdo reassocia para (\overline{B}B)C e o lado direito é \overline{B}, então
(\overline{B}B)C = \overline{B}\quad\Longrightarrow\quad I_n C = \overline{B}\quad\Longrightarrow\quad C=\overline{B}.
Portanto C=\overline{B}. Como \overline{B}B=I_n, substituindo obtemos
CB = \overline{B}B = I_n.
Isto prova (a): toda vez que BC=I_n para matrizes quadradas, automaticamente CB=I_n.

Passo 4

Agora (b): suponha \det(B)\neq0. Pela hipótese do enunciado existe uma matriz \overline{B} tal que
\overline{B}B=I_n.
Aplicando o resultado provado em (a) trocando os papéis (ou seja, tomando B por \overline{B} e C por B) obtemos que
B\overline{B}=I_n.
Assim \overline{B} é inversa à direita e à esquerda de B; em notação usual podemos chamá-la de B^{-1}. Portanto existe uma inversa B^{-1} satisfazendo
BB^{-1}=B^{-1}B=I_n.

Passo 5

Ainda em (b): provar unicidade dessa inversa. Suponha que existam duas matrizes X e Y tais que ambas são inversas bilaterais de B, isto é,
BX=XB=I_n\qquad\text{e}\qquad BY=YB=I_n.
Mostrarei que X=Y. Começo com X e uso que Y é inversa:
X = X I_n = X(BY).
Pela associatividade,
X(BY) = (XB)Y = I_n Y = Y.
Logo X=Y. Assim não podem existir duas inversas distintas: a inversa é única.

Resposta

(a) C B = I_n
(b) Existe e é única a matriz B^{-1} tal que B B^{-1}=B^{-1} B=I_n

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