Sabendo-se que para toda matriz, n \times n, A \operatorname{com} \operatorname{det}(A) \neq 0 existe uma matriz, n \times n, \bar{A} tal que \bar{A} A=I_{n}, mostre que:
a) se B e C são matrizes n \times n e B C=I_{n} então C B=I_{n}.
b) se \operatorname{det}(B) \neq 0 ( B matriz n \times n ) então existe uma única B^{-1} tal que B B^{-1}=B^{-1} B=I_{n}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, usando a hipótese conhecida: para toda matriz n\times nA com \det(A)\neq0 existe uma matriz \overline{A} tal que \overline{A}A=I_n.
As perguntas são:
(a) Se B e C são matrizes n\times n e BC=I_n, mostrar que CB=I_n.
(b) Se \det(B)\neq0 (com Bn\times n), mostrar que existe uma única B^{-1} tal que BB^{-1}=B^{-1}B=I_n.
Informações relevantes dadas:
Produto de determinantes: para quaisquer matrizes quadradas X,Y vale \det(XY)=\det(X)\det(Y).
Determinante da identidade: \det(I_n)=1.
Para qualquer A quadrada com \det(A)\neq0 existe \overline{A} tal que \overline{A}A=I_n (hipótese dada).
Passo 2
Começando por (a): suponha que B e C são n\times n e que
BC=I_n.
Vou usar a propriedade dos determinantes para obter informação sobre \det(B) e \det\text{(C)}. Aplicando determinante aos dois lados:
\det(BC)=\det(I_n).
Pela propriedade do produto de determinantes isso dá
\det(B)\det\text{(C)}=1.
Como o produto de dois números é 1, ambos os fatores são diferentes de zero. Logo