Pedido: para cada uma das três matrizes dadas, determinar todos os valores de \lambda tais que \det\!\big(A-\lambda I_{3}\big)=0. Ou seja, encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico) de cada matriz.
Observação: a primeira coluna tem zeros nas posições (2,1) e (3,1). Isso torna a expansão por cofatores ao longo da primeira coluna muito simples: só sobra o elemento (1,1).
Passo 3
Cálculo do determinante por expansão na primeira coluna:
Não há zeros óbvios que simplifiquem muito, então expandimos por cofatores ao longo da primeira linha (método direto). A fórmula de expansão na primeira linha é
Agora precisamos fatorar o polinômio cúbico \lambda^{3}-5\lambda^{2}+2\lambda+8. Uma técnica prática é testar raízes racionais divisoras do termo constante 8: \pm1,\pm2,\pm4,\pm8 (teorema das raízes racionais).
Testando \lambda=2:
2^{3}-5\cdot2^{2}+2\cdot2+8=8-20+4+8=0,
portanto \lambda=2 é raiz. Fazendo a divisão polinomial (ou método de Ruffini) por (\lambda-2) obtemos o quociente
Aqui a primeira linha tem dois zeros nas colunas 2 e 3, então a expansão por cofatores na primeira linha é imediata: o determinante é o elemento (1,1) vezes o determinante do menor 2\times2 que sobra.