Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{3}\right)=0.
\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right) ; \quad\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right) ; \quad\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & -2 \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedido: para cada uma das três matrizes dadas, determinar todos os valores de \lambda tais que \det\!\big(A-\lambda I_{3}\big)=0. Ou seja, encontrar os autovalores (raízes do polinômio característico) de cada matriz.
  • Matrizes dadas:
A_1=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A_2=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ 3 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Informação útil (fórmula que vamos usar):
  • O polinômio característico de uma matriz A é \det\!\big(A-\lambda I\big). Os valores de \lambda que anulam esse determinante são os autovalores.
  • Para matrizes 3\times3 costuma-se calcular a determinante por expansão em cofatores ou simplificar usando linhas/colunas com muitos zeros.

Passo 2

Vamos resolver para a primeira matriz A_1.
Primeiro escrevemos A_1-\lambda I_{3}:
A_1-\lambda I_{3}=\begin{pmatrix} 2-\lambda & -2 & 3 \\\\ 0 & 3-\lambda & -2 \\\\ 0 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Observação: a primeira coluna tem zeros nas posições (2,1) e (3,1). Isso torna a expansão por cofatores ao longo da primeira coluna muito simples: só sobra o elemento (1,1).

Passo 3

Cálculo do determinante por expansão na primeira coluna:
\det\!\big(A_1-\lambda I_{3}\big)=(2-\lambda)\cdot \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -2 \\\\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -2 \\\\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}=(3-\lambda)(2-\lambda)-(-2)(-1).
Desenvolvendo:
(3-\lambda)(2-\lambda)=6-5\lambda+\lambda^{2}, \qquad (-2)(-1)=2,
portanto
(3-\lambda)(2-\lambda)-2 = 6-5\lambda+\lambda^{2}-2 = \lambda^{2}-5\lambda+4.
Logo o polinômio característico é
\det\!\big(A_1-\lambda I_{3}\big)=(2-\lambda)\,(\lambda^{2}-5\lambda+4).
Fatorando o quadrático \lambda^{2}-5\lambda+4=(\lambda-1)(\lambda-4), obtemos
\det\!\big(A_1-\lambda I_{3}\big)=-(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-4).
As raízes são, portanto, \lambda=2,\;1,\;4.

Passo 4

Agora a segunda matriz A_2. Primeiro escrevemos A_2-\lambda I_{3}:
A_2-\lambda I_{3}=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 3 \\\\ 1 & 2-\lambda & 1 \\\\ 2 & -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Não há zeros óbvios que simplifiquem muito, então expandimos por cofatores ao longo da primeira linha (método direto). A fórmula de expansão na primeira linha é
\det(M)=m_{11}C_{11}+m_{12}C_{12}+m_{13}C_{13},
onde C_{1j} são os cofatores.

Passo 5

Calculamos os menores 2\times2 necessários:
  • Primeiro menor (associado a m_{11}=2-\lambda):
D_1=\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\\\ -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}=(2-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot(-2).
Calculando:
(2-\lambda)(1-\lambda)=2-3\lambda+\lambda^{2}, \qquad -1\cdot(-2)=2,
logo
D_1=2-3\lambda+\lambda^{2}+2=\lambda^{2}-3\lambda+4.
  • Segundo menor (associado a m_{12}=2, lembrando o sinal alternado):
D_2=\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 2 & 1-\lambda \end{pmatrix}=1\cdot(1-\lambda)-1\cdot2=1-\lambda-2=-1-\lambda.
  • Terceiro menor (associado a m_{13}=3):
D_3=\det\begin{pmatrix} 1 & 2-\lambda \\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}=1\cdot(-2)-(2-\lambda)\cdot 2=-2-4+2\lambda=-6+2\lambda.

Passo 6

Agora montamos a expansão na primeira linha:
\det\!\big(A_2-\lambda I_{3}\big)=(2-\lambda)D_1 - 2D_2 + 3D_3.
Substituindo os D_i:
\det\!\big(A_2-\lambda I_{3}\big)=(2-\lambda)(\lambda^{2}-3\lambda+4) - 2(-1-\lambda) + 3(-6+2\lambda).
Vamos desenvolver passo a passo.
Primeiro termo:
(2-\lambda)(\lambda^{2}-3\lambda+4)=2\lambda^{2}-6\lambda+8 -\lambda^{3}+3\lambda^{2}-4\lambda=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-10\lambda+8.
Segundo termo:
-2(-1-\lambda)=2+2\lambda.
Terceiro termo:
3(-6+2\lambda)=-18+6\lambda.
Somando tudo:
-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-10\lambda+8 + 2+2\lambda -18+6\lambda = -\lambda^{3}+5\lambda^{2}-2\lambda-8.
Assim
\det\!\big(A_2-\lambda I_{3}\big)=-\big(\lambda^{3}-5\lambda^{2}+2\lambda+8\big).
Agora precisamos fatorar o polinômio cúbico \lambda^{3}-5\lambda^{2}+2\lambda+8. Uma técnica prática é testar raízes racionais divisoras do termo constante 8: \pm1,\pm2,\pm4,\pm8 (teorema das raízes racionais).
Testando \lambda=2:
2^{3}-5\cdot2^{2}+2\cdot2+8=8-20+4+8=0,
portanto \lambda=2 é raiz. Fazendo a divisão polinomial (ou método de Ruffini) por (\lambda-2) obtemos o quociente
\lambda^{2}-3\lambda-4.
Fatorando o quadrático:
\lambda^{2}-3\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda+1).
Logo
\lambda^{3}-5\lambda^{2}+2\lambda+8=(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1),
e consequentemente
\det\!\big(A_2-\lambda I_{3}\big)=-(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1).
As raízes são \lambda=2,\;4,\;-1.

Passo 7

Finalmente a terceira matriz A_3. Escrevemos A_3-\lambda I_{3}:
A_3-\lambda I_{3}=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\\\ -1 & 3-\lambda & 0 \\\\ 3 & 2 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Aqui a primeira linha tem dois zeros nas colunas 2 e 3, então a expansão por cofatores na primeira linha é imediata: o determinante é o elemento (1,1) vezes o determinante do menor 2\times2 que sobra.

Passo 8

Cálculo do determinante:
\det\!\big(A_3-\lambda I_{3}\big)=(1-\lambda)\cdot \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 \\\\ 2 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
O menor 2\times2 é simplesmente
(3-\lambda)(-2-\lambda)-0\cdot 2 = -(3-\lambda)(\lambda+2).
Então
\det\!\big(A_3-\lambda I_{3}\big)=(1-\lambda)\cdot\big(-(3-\lambda)(\lambda+2)\big) = - (1-\lambda)(3-\lambda)(\lambda+2).
As raízes aparecem quando cada fator é zero, portanto \lambda=1,\;3,\;-2.

Resposta

Para A_1: \lambda=2,\;1,\;4
Para A_2: \lambda=2,\;4,\;-1
Para A_3: \lambda=1,\;3,\;-2

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