Considere a matriz A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]
Calcule o \operatorname{det}\left(A^{n}\right), para todo número natural n.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix}
e pede para calcular \det\!\big(A^{n}\big) para todo número natural n.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A matriz A é uma matriz quadrada 3\times3.
  • O objetivo é obter uma fórmula em função de n.]

Passo 2

Conceito que vamos usar: a função determinante tem a propriedade multiplicativa que diz que, para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem,
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Aqui \det(\cdot) representa o determinante da matriz indicada. Essa propriedade é a ferramenta principal para relacionar \det(A^{n}) com \det(A).

Passo 3

Usando a propriedade multiplicativa, mostramos que \det(A^{n})=\big(\det(A)\big)^{n} por indução em n.
Base ( n=1): \det(A^{1})=\det(A)=\big(\det(A)\big)^{1}, verdade óbvia.
Passo indutivo: suponha que \det(A^{k})=\big(\det(A)\big)^{k} vale para algum k\in\mathbb{N}. Então
\det(A^{k+1})=\det(A^{k}A)=\det(A^{k})\det(A).
Pela hipótese de indução substitui-se \det(A^{k}) por \big(\det(A)\big)^{k} e obtém-se
\det(A^{k+1})=\big(\det(A)\big)^{k}\det(A)=\big(\det(A)\big)^{k+1}.
Assim a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}. (Observação: para n=0 tem-se A^{0}=I e \det(I)=1=(\det(A))^{0}, então a fórmula também é compatível se considerar 0\in\mathbb{N}.)

Passo 4

Portanto basta calcular \det(A). Vou calcular o determinante de A expandindo pela primeira linha (método de cofatores). Lembrando: o cofator associado ao elemento da posição (i,j) é (-1)^{i+j} vezes o determinante da submatriz obtida removendo a linha i e a coluna j.
Expandindo pela primeira linha de A:
\det(A)=1\cdot C_{11}+2\cdot C_{12}+3\cdot C_{13},
onde C_{1j} são os cofatores correspondentes (atenção ao sinal de C_{12} que será negativo por (-1)^{1+2}=-1).

Passo 5

Calcular os menores e cofatores:
Menor correspondente a (1,1): submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1 é
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
logo seu determinante é 1\cdot2-2\cdot1=0. Assim C_{11}=+0=0.
Menor correspondente a (1,2): submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 2 é
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},
seu determinante é 1\cdot2-2\cdot0=2. O cofator tem sinal (-1)^{1+2}=-1, então C_{12}=-2.
Menor correspondente a (1,3): submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 3 é
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
seu determinante é 1\cdot1-1\cdot0=1. O cofator tem sinal (-1)^{1+3}=+1, então C_{13}=+1.]

Passo 6

Agora substituímos os cofatores na expansão:
\det(A)=1\cdot 0 + 2\cdot(-2) + 3\cdot 1 = 0 -4 +3 = -1.
Portanto \det(A)=-1.

Passo 7

Juntando com o resultado do passo indutivo (Passo 3), concluímos que, para todo n\in\mathbb{N},
\det\!\big(A^{n}\big)=\big(\det(A)\big)^{n}=(-1)^{n}.

Resposta

(-1)^{n}

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