Considere a matriz A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]
Calcule o \operatorname{det}\left(A^{n}\right), para todo número natural n.
Assim a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}. (Observação: para n=0 tem-se A^{0}=I e \det(I)=1=(\det(A))^{0}, então a fórmula também é compatível se considerar 0\in\mathbb{N}.)
Passo 4
Portanto basta calcular \det(A). Vou calcular o determinante de A expandindo pela primeira linha (método de cofatores). Lembrando: o cofator associado ao elemento da posição (i,j) é (-1)^{i+j} vezes o determinante da submatriz obtida removendo a linha i e a coluna j.