Seja
um valor real. Calcular a área limitada pela lemniscata de Bernoulli
Sugestão: A parte da lemniscata localizada no primeiro quadrante pode ser expressa pelo caminho
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área limitada pela lemniscata de Bernoulli, que é uma curva especial em forma de oito. A equação dada é:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração paramétrica, para encontrar essa área. A sugestão nos dá uma parametrização para a parte da lemniscata no primeiro quadrante, o que vai facilitar nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área limitada por uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por $ x(t) $ e $ y(t) $, a área $ A $ pode ser encontrada usando a fórmula:
Essa fórmula vem do conceito de integração paramétrica para áreas, onde $ y’(t) $ e $ x’(t) $ são as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula na parametrização fornecida. A parametrização para a parte da lemniscata no primeiro quadrante é:
Aqui, $ t $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $. Primeiro, precisamos encontrar $ x(t) $, $ y(t) $, $ x’(t) $ e $ y’(t) $.
Passo 4
Vamos definir:
Agora, vamos calcular as derivadas $ x’(t) $ e $ y’(t) $.
Passo 5
Calculando $ x’(t) $:
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
De maneira semelhante, calculamos $ y’(t) $:
Aplicando as regras:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ x’(t) $ e $ y’(t) $ na fórmula da área:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 7
Calculando $ x(t) \cdot y’(t) $:
Simplificando:
Calculando $ y(t) \cdot x’(t) $:
Simplificando:
Passo 8
Subtraindo os dois resultados:
Perceba que os termos $ -a^2 \cos t \sin t \sin 2t $ e $ +a^2 \sin t \cos t \sin 2t $ se cancelam. Restam:
Sabemos que $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $, então:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral da área:
Extras: Fatorando $ a^2 $:
Passo 10
Vamos integrar $ \cos 2t $:
Aplicando os limites de integração:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão para $ A $:
Esse é o valor da área na primeira parte da lemniscata, ou seja, no primeiro quadrante.
Passo 12
Como a lemniscata é simétrica em relação aos quatro quadrantes, a área total será quatro vezes a área que calculamos:
Resposta
A área limitada pela lemniscata de Bernoulli é igual a $ a^{2} $.