Seja a>0 um valor real. Calcular a área limitada pela lemniscata de Bernoulli
(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)
Sugestão: A parte da lemniscata localizada no primeiro quadrante pode ser expressa pelo caminho
gamma:[0, pi4] R^2, gamma(t)=(a cos t raizcos 2 t, a sen t raizcos 2 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área limitada pela lemniscata de Bernoulli, que é uma curva especial em forma de oito. A equação dada é:
(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração paramétrica, para encontrar essa área. A sugestão nos dá uma parametrização para a parte da lemniscata no primeiro quadrante, o que vai facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área limitada por uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por $ x(t) $ e $ y(t) $, a área $ A $ pode ser encontrada usando a fórmula:
x(t)
Essa fórmula vem do conceito de integração paramétrica para áreas, onde $ y’(t) $ e $ x’(t) $ são as derivadas de $ y $ e $ x $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula na parametrização fornecida. A parametrização para a parte da lemniscata no primeiro quadrante é:
gamma(t) = ( a cos t raizcos 2 t, a sin t raizcos 2 t )
Aqui, $ t $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $. Primeiro, precisamos encontrar $ x(t) $, $ y(t) $, $ x’(t) $ e $ y’(t) $.

Passo 4

Vamos definir:
x(t) = a cos t raizcos 2t
y(t) = a sin t raizcos 2t
Agora, vamos calcular as derivadas $ x’(t) $ e $ y’(t) $.

Passo 5

Calculando $ x’(t) $:
x'(t)
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
x'(t) = ddt ( a cos t raizcos 2t )
Simplificando:
x'(t) = a ( -sin t raizcos 2t + cos t cdot 12 (cos 2t)^-1/2 cdot (-2 sin 2t) )
De maneira semelhante, calculamos $ y’(t) $:
x'(t) = -a sin t raizcos 2t - a cos t cdot sin 2traizcos 2t
Aplicando as regras:
y'(t)
Simplificando:
y'(t) = ddt ( a sin t raizcos 2t )

Passo 6

Agora, substituímos $ x(t) $, $ y(t) $, $ x’(t) $ e $ y’(t) $ na fórmula da área:
x(t)
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 7

Calculando $ x(t) \cdot y’(t) $:
x(t) cdot y'(t)
Simplificando:
x(t) cdot y'(t) = a cos t raizcos 2t cdot ( a cos t raizcos 2t - a sin t cdot sin 2traizcos 2t )
Calculando $ y(t) \cdot x’(t) $:
x(t) cdot y'(t) = a^2 cos^2 t cos 2t - a^2 cos t sin t sin 2t
Simplificando:
y(t) cdot x'(t)

Passo 8

Subtraindo os dois resultados:
x(t) cdot y'(t) - y(t) cdot x'(t) = a^2 cos^2 t cos 2t - a^2 cos t sin t sin 2t + a^2 sin^2 t cos 2t + a^2 sin t cos t sin 2t
Perceba que os termos $ -a^2 \cos t \sin t \sin 2t $ e $ +a^2 \sin t \cos t \sin 2t $ se cancelam. Restam:
-a^2 cos t sin t sin 2t
Sabemos que $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $, então:
+a^2 sin t cos t sin 2t

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral da área:
A = 12 integral0^pi4 a^2 cos 2t , dt
Extras: Fatorando $ a^2 $:
a^2

Passo 10

Vamos integrar $ \cos 2t $:
cos 2t
Aplicando os limites de integração:
integral cos 2t , dt = 12 sin 2t + C

Passo 11

Substituindo de volta na expressão para $ A $:
A
Esse é o valor da área na primeira parte da lemniscata, ou seja, no primeiro quadrante.

Passo 12

Como a lemniscata é simétrica em relação aos quatro quadrantes, a área total será quatro vezes a área que calculamos:
Atotal = 4 cdot a^24 = a^2

Resposta

A área limitada pela lemniscata de Bernoulli é igual a $ a^{2} $.

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