Sabendo que a tração no cabo B C é 4.050 N , determine o momento da força exercida na placa em C sobre (a) a origem das coordenadas O e (b) o canto D.

Passo 1

O enunciado pede o momento da força aplicada na placa, no ponto C, por um cabo BC cuja tração vale \,4050\\ \text{N}. As duas tarefas são:
  • (a) calcular o momento dessa força em relação à origem das coordenadas O;
  • (b) calcular o momento dessa força em relação ao canto D.
Dados que eu extraí da figura (peguei estes comprimentos diretamente da imagem):
  • \,T_{BC}=4050\\ \text{N} (tração no cabo BC).
  • distância A O = 1{,}2\\ \text{mm}.
  • distância A C = 2{,}7\\ \text{mm}.
  • distância A D = 1{,}2\\ \text{mm} (no eixo z, para o canto D).
  • distância horizontal entre o eixo y e o ponto B é 0{,}6\\ \text{mm}.
  • distância inclinada B A = 2{,}1\\ \text{mm}.
Observações sobre o sistema de coordenadas (conforme a figura):
  • o eixo x aponta para a direita, o y para cima e o z para fora/para trás conforme o desenho;
  • tomo O como origem: \,O=(0,0,0);
  • todas as medidas da figura estão em milímetros; eu as transformarei para metros sempre que necessário.

Passo 2

Plano de ataque (fórmula e ideia): o momento (torque) de uma força \mathbf{F} aplicada em C relativamente a um ponto P é o produto vetorial
\mathbf{M}_P=\mathbf{r}_{P\to C}\times\mathbf{F},
onde \mathbf{r}_{P\to C} é o vetor posição do ponto de aplicação C medido a partir de P.
Para obter \mathbf{F} precisamos da direção do cabo BC: a força no ponto C (que a placa “sente”) tem módulo 4050\\ \text{N} e direção ao longo do segmento CB (apontando de C para B). Então calculamos:
  1. as coordenadas de C e B no sistema com origem em O;
  2. o vetor \overrightarrow{CB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C;
  3. o versor (vetor unitário) na direção \overrightarrow{CB};
  4. \mathbf{F}=4050\cdot(\text{versor de } \overrightarrow{CB});
  5. finalmente \mathbf{M}_O=\mathbf{r}_{O\to C}\times\mathbf{F} e \mathbf{M}_D=\mathbf{r}_{D\to C}\times\mathbf{F}.
Vou explicar cada passo devagar, contando as contas.

Passo 3

Definir coordenadas dos pontos (usei as medidas extraídas da figura):
  • tomo O=(0,0,0).
  • ponto A está a 1{,}2\\ \text{mm} à esquerda de O no eixo x, logo
\mathbf{r}_A = (-1{,}2\\ \text{mm},\,0,\,0).
  • C está a 2{,}7\\ \text{mm} à direita de A (no sentido +x), então
\mathbf{r}_C=\mathbf{r}_A+(2{,}7\\ \text{mm},0,0)=(-1{,}2+2{,}7,\;0,\;0)=(1{,}5\\ \text{mm},0,0).
  • D é o canto obtido afastando-se de A no sentido negativo de z por 1{,}2\\ \text{mm}, portanto
\mathbf{r}_D=( -1{,}2\\ \text{mm},\;0,\;-1{,}2\\ \text{mm} ).
  • ponto B: a figura mostra que a projeção de B no plano x\!-\!y tem x=0{,}6\\ \text{mm} (distância horizontal do eixo y) e que a distância inclinada BA=2{,}1\\ \text{mm}. Assumo que a coordenada z de B é zero (o desenho sugere que B está acima do plano da placa, sem deslocamento em z). Assim, escrevo B=(0{,}6,\;y_B,\;0)\\ \text{mm} e imponho
|BA|=\sqrt{(0{,}6-(-1{,}2))^2 + (y_B-0)^2} = 2{,}1\\ \text{mm}.
Calcule:
0{,}6-(-1{,}2)=1{,}8\\ \text{mm},\qquad y_B=\sqrt{2{,}1^2-1{,}8^2}=\sqrt{4{,}41-3{,}24}=\sqrt{1{,}17}=1{,}081665\\ \text{mm}.
Portanto
\mathbf{r}_B=(0{,}6\\ \text{mm},\;1{,}081665\\ \text{mm},\;0).
Nota: todas estas coordenadas estão em milímetros; transformaremos para metros quando formos multiplicar pela força (para ficar em N·m).

Passo 4

Calcular o vetor \overrightarrow{CB} e o versor na direção do cabo:
\overrightarrow{CB}=\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C =(0{,}6-1{,}5,\;1{,}081665-0,\;0-0)\\ \text{mm}=(-0{,}9,\;1{,}081665,\;0)\\ \text{mm}.
Comprimento de \overrightarrow{CB}:
|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(-0{,}9)^2+(1{,}081665)^2} =\sqrt{0{,}81+1{,}17}=\sqrt{1{,}98}=1{,}407127\\ \text{mm}.
Versor (vetor unitário) na direção de CB:
\hat{\mathbf{u}}_{CB}=\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|} =\biggl(\frac{-0{,}9}{1{,}407127},\;\frac{1{,}081665}{1{,}407127},\;0\biggr) \approx(-0{,}6398,\;0{,}7685,\;0).

Passo 5

Obter a força \mathbf{F} aplicada na placa em C: é a tração de módulo 4050\\ \text{N} na direção de CB (apontando de C para B), então
\mathbf{F}=4050\\ \hat{\mathbf{u}}_{CB} \approx(4050\cdot(-0{,}6398),\;4050\cdot0{,}7685,\;0)\\ \text{N} \approx(-2593{,}9,\;3113{,}4,\;0)\\ \text{N}.

Passo 6

Calcular o momento em relação à origem O:
  • vetor posição de C relativo a O: \mathbf{r}_{O\to C}=\mathbf{r}_C=(1{,}5\\ \text{mm},0,0)=(1{,}5\times10^{-3},0,0)\\ \text{m}.
  • fórmula do momento:
\mathbf{M}_O=\mathbf{r}_{O\to C}\times\mathbf{F}.
Produto vetorial (mostro a conta): com \mathbf{r}=(r_x,0,0) e \mathbf{F}=(F_x,F_y,0) temos
\mathbf{M}=(0-0,\;0- r_x F_z,\; r_x F_y-0)=(0,0,r_x F_y).
Aqui r_x=1{,}5\times10^{-3}\\ \text{m} e F_y\approx3113{,}4\\ \text{N}. Logo
\mathbf{M}_O=(0,\;0,\;1{,}5\times10^{-3}\cdot3113{,}4)\\ \text{N·m} \approx(0,\;0,\;4{,}6701)\\ \text{N·m}.

Passo 7

Calcular o momento em relação ao canto D:
  • vetor posição de C relativo a D é \mathbf{r}_{D\to C}=\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_D.
    Usando \mathbf{r}_C=(1{,}5,\;0,\;0)\\ \text{mm} e \mathbf{r}_D=(-1{,}2,\;0,\;-1{,}2)\\ \text{mm}:
\mathbf{r}_{D\to C}=(1{,}5-(-1{,}2),\;0-0,\;0-(-1{,}2))=(2{,}7,\;0,\;1{,}2)\\ \text{mm}.
Em metros: \mathbf{r}_{D\to C}=(2{,}7\times10^{-3},\;0,\;1{,}2\times10^{-3})\\ \text{m}.
Fazendo o produto vetorial \mathbf{M}_D=\mathbf{r}_{D\to C}\times\mathbf{F}. Escrevo a expressão componente a componente:
\begin{aligned} M_{D,x} &= r_y F_z - r_z F_y = 0 - r_z F_y = -r_z F_y,\\[4pt] M_{D,y} &= r_z F_x - r_x F_z = r_z F_x - 0 = r_z F_x,\\[4pt] M_{D,z} &= r_x F_y - r_y F_x = r_x F_y - 0 = r_x F_y. \end{aligned}
Substituindo r_x=2{,}7\times10^{-3}\\ \text{m}, r_z=1{,}2\times10^{-3}\\ \text{m}, F_x\approx-2593{,}9\\ \text{N}, F_y\approx3113{,}4\\ \text{N}:
\begin{aligned} M_{D,x} &\approx -1{,}2\times10^{-3}\cdot3113{,}4 \approx -3{,}7361\\ \text{N·m},\\[4pt] M_{D,y} &\approx 1{,}2\times10^{-3}\cdot(-2593{,}9)\approx -3{,}1127\\ \text{N·m},\\[4pt] M_{D,z} &\approx 2{,}7\times10^{-3}\cdot3113{,}4\approx 8{,}4059\\ \text{N·m}. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{M}_D\approx(-3{,}736,\;-3{,}113,\;8{,}406)\\ \text{N·m}.]

Resposta

\mathbf{M}_O=(0,\;0,\;4{,}670)\\ \text{N·m}
\mathbf{M}_D=(-3{,}736,\;-3{,}113,\;8{,}406)\\ \text{N·m}

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