Sabendo-se que u_{n}(x, t)=c_{n} \operatorname{senh}(n \pi x / b) \operatorname{sen}(n \pi y / b), n=1,2, \cdots são soluções do problema
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial y^{2}}=0 \\\ u(x, 0)=0=u(x, b) \\\ u(0, y)=0 \end{array}\right.
resolva o problema abaixo
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial y^{2}}=0 \\\ u(x, 0)=0=u(x, \pi) \\\ u(0, y)=0 \\\ u(\pi, y)=\operatorname{sen}(4 y)-3 \cos (8 y) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace bidimensional e condições de contorno numa placa retangular. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Equação PDE: \frac{\partial^{2} u(x,y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u(x,y)}{\partial y^{2}}=0.
  • Condições de contorno (no enunciado a variável vertical foi y e horizontal x): u(x,0)=0,\qquad u(x,\pi)=0,\qquad u(0,y)=0,\qquad u(\pi,y)=\sin(4y)-3\cos(8y).
  • O que se pede: encontrar a solução u(x,y) que satisfaça a PDE e essas condições.
Observações importantes que já podemos notar sem resolver: as condições homogêneas em y=0 e y=\pi sugerem usar funções \sin(ny) (série de senos) para expandir a condição em x=\pi. A condição u(0,y)=0 impõe que a parte dependente de x zere em x=0. No enunciado anterior foi dado que funções da forma u_n(x,y)=c_n\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y) (com b=\pi) são soluções elementares — isso já sugere a forma da solução por separação de variáveis e soma das modais.

Passo 2

Método: separação de variáveis. Vou procurar soluções separáveis da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituo na equação \partial_{xx}u+\partial_{yy}u=0:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Divido por X(x)Y(y) (assumindo não nula):
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Isto implica que cada termo é igual a uma constante oposta a outra. Chamo essa constante de -\lambda. Assim obtemos o sistema de ODEs:
\begin{cases} Y''(y)+\lambda Y(y)=0,\\[4pt] X''(x)-\lambda X(x)=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o problema em y com as condições em y:
Y''(y)+\lambda Y(y)=0,\qquad Y(0)=0,\; Y(\pi)=0.
Este é um problema de autovalores clássico. Para ter solução não-trivial precisamos de autovalores \lambda_n=n^2 com n=1,2,\dots e autofunções
Y_n(y)=\sin(n y).
Explicando: se \lambda\le0 ou \lambda não compatível, só obtém-se solução trivial; as condições de contorno em 0 e \pi levam aos valores \lambda_n=n^2.

Passo 4

Resolver o problema em x para cada \lambda_n=n^2:
X''(x)-n^2 X(x)=0.
A solução geral é
X_n(x)=A_n\operatorname{cosh}(n x)+B_n\operatorname{sinh}(n x).
Agora uso a condição de contorno em x=0: u(0,y)=0 para todo y. Escrevendo a soma sobre modos (como vamos fazer) isso exige X_n(0)=0, ou seja
X_n(0)=A_n\operatorname{cosh}(0)+B_n\operatorname{sinh}(0)=A_n\cdot1+0=A_n=0.
Logo A_n=0 e
X_n(x)=B_n\operatorname{sinh}(n x).
Portanto os modos separados não nulos têm a forma
u_n(x,y)=c_n\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y),
onde renomeei c_n=B_n.

Passo 5

Forma geral da solução (superposição linear dos modos):
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y).
Agora imponho a condição em x=\pi:
u(\pi,y)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\operatorname{sinh}(n\pi)\sin(n y)=f(y),
onde
f(y)=\sin(4y)-3\cos(8y).
Isso significa que devemos expandir f(y) em série de senos:
f(y)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\sin(n y),
com coeficientes dados por (fórmula da série de Fourier seno em (0,\pi)):
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(y)\sin(n y)\,dy.
Comparando com a condição em x=\pi, obtemos
c_n\operatorname{sinh}(n\pi)=a_n \quad\Rightarrow\quad c_n=\frac{a_n}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.

Passo 6

Calcular explicitamente os coeficientes a_n\). Substituo \(f(y)=\sin(4y)-3\cos(8y)\): \[a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\big(\sin(4y)-3\cos(8y)\big)\sin(n y)\,dy.
Separe a integral em duas partes:
a_n=\frac{2}{\pi}\Big(\underbrace{\int_{0}^{\pi}\sin(4y)\sin(n y)\,dy}_{I_1}-3\underbrace{\int_{0}^{\pi}\cos(8y)\sin(n y)\,dy}_{I_2}\Big).
Primeiro I_1. Usando ortogonalidade dos senos:
\int_{0}^{\pi}\sin(4y)\sin(n y)\,dy= \begin{cases} 0,& n\ne4,\\[4pt] \frac{\pi}{2},& n=4. \end{cases}
Portanto a contribuição de \sin(4y)\] gera \(a_4 apenas.
Agora I_2. Uso identidade produto-soma:
\cos(8y)\sin(n y)=\tfrac{1}{2}\big(\sin((n+8)y)+\sin((n-8)y)\big).
Logo
I_2=\int_{0}^{\pi}\cos(8y)\sin(n y)\,dy=\tfrac{1}{2}\Big(\int_{0}^{\pi}\sin((n+8)y)\,dy+\int_{0}^{\pi}\sin((n-8)y)\,dy\Big).
Calcule a integral genérica
\int_{0}^{\pi}\sin(k y)\,dy=\left[-\frac{\cos(k y)}{k}\right]_0^{\pi}=\frac{1-(-1)^k}{k}.
Assim essa integral é 0 se k é par, e 2/k se k é ímpar. Note que k=n\pm8 tem a mesma paridade de n (pois 8 é par). Portanto:
  • Se n for par, então n\pm8 é par e as duas integrais valem 0. Logo I_2=0 para n par.
  • Se n for ímpar, então n\pm8 é ímpar e
I_2=\tfrac{1}{2}\Big(\frac{2}{n+8}+\frac{2}{n-8}\Big)=\frac{1}{n+8}+\frac{1}{n-8}.
(Aqui usamos a fórmula também quando n-8 é negativo; a expressão resultante continua válida como número real.)
Podemos simplificar a soma de frações:
\frac{1}{n+8}+\frac{1}{n-8}=\frac{(n-8)+(n+8)}{n^2-64}=\frac{2n}{n^2-64}.
Portanto, reunindo:
  • Se n é par e n\ne4: I_1=0 e I_2=0 então a_n=0.
  • Se n=4: I_1=\pi/2 e I_2=0 (pois n=4 é par), então
a_4=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=1.
  • Se n é ímpar: I_1=0 e I_2=\dfrac{2n}{\,n^2-64\,}, daí
a_n=\frac{2}{\pi}\Big(0-3\cdot\frac{2n}{\,n^2-64\,}\Big)=-\frac{12n}{\pi(n^2-64)}\qquad\text{(para \(n\) ímpar).}í
Resumindo os coeficientes:
a_n=\begin{cases} 1,& n=4,\\[6pt] -\dfrac{12n}{\pi(n^2-64)},& n\\ \text{ímpar}\\ (1,3,5,7,\dots),\\[6pt] 0,& n\\ \text{par},\\ n\ne4. \end{cases}í]

Passo 7

Voltando aos coeficientes c_n da solução:
c_n=\frac{a_n}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.
Portanto a solução u(x,y) fica
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\operatorname{sinh}(n\pi)}\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y).
Substituindo a fórmula de a_n obtida, escrevo explicitamente a série separando o termo n=4 e os n ímpares:
  • Termo n=4:
\frac{a_4}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\operatorname{sinh}(4x)\sin(4y)=\frac{\operatorname{sinh}(4x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4y).
  • Para n ímpar ( n=1,3,5,\dots):
\frac{a_n}{\operatorname{sinh}(n\pi)}\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y) = -\frac{12n}{\pi(n^2-64)}\cdot\frac{\operatorname{sinh}(n x)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}\sin(n y).
Assim a solução final é a soma desses termos.

Resposta

u(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}(4x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4y)\;-\;\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{12n}{\pi(n^2-64)}\cdot\frac{\operatorname{sinh}(n x)}{\operatorname{sinh}(n\pi)}\sin(n y).í

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