Condições de contorno (no enunciado a variável vertical foi y e horizontal x):u(x,0)=0,\qquad u(x,\pi)=0,\qquad u(0,y)=0,\qquad u(\pi,y)=\sin(4y)-3\cos(8y).
O que se pede: encontrar a solução u(x,y) que satisfaça a PDE e essas condições.
Observações importantes que já podemos notar sem resolver: as condições homogêneas em y=0 e y=\pi sugerem usar funções \sin(ny) (série de senos) para expandir a condição em x=\pi. A condição u(0,y)=0 impõe que a parte dependente de x zere em x=0. No enunciado anterior foi dado que funções da forma u_n(x,y)=c_n\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y) (com b=\pi) são soluções elementares — isso já sugere a forma da solução por separação de variáveis e soma das modais.
Passo 2
Método: separação de variáveis. Vou procurar soluções separáveis da forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituo na equação \partial_{xx}u+\partial_{yy}u=0:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Divido por X(x)Y(y) (assumindo não nula):
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Isto implica que cada termo é igual a uma constante oposta a outra. Chamo essa constante de -\lambda. Assim obtemos o sistema de ODEs:
Este é um problema de autovalores clássico. Para ter solução não-trivial precisamos de autovalores \lambda_n=n^2 com n=1,2,\dots e autofunções
Y_n(y)=\sin(n y).
Explicando: se \lambda\le0 ou \lambda não compatível, só obtém-se solução trivial; as condições de contorno em 0 e \pi levam aos valores \lambda_n=n^2.