Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Passo 1
O enunciado pede: localizar todos os máximos relativos, todos os mínimos relativos e todos os pontos de sela (se existirem) da função
Informações explícitas dadas no enunciado:
e a expressão explícita de
.
A tarefa é encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá‑los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
A tarefa é encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá‑los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: calculo as derivadas parciais primeiras e resolvo o sistema
.
Derivadas parciais:
Agora imponho
e
.
Da equação em
:
Da equação em
:
Como
para todo
, a única solução real é
, logo
.
Portanto existe exatamente um ponto crítico real:
Passo 3
Tentativa de classificar com a matriz Hessiana (teste das derivadas segundas).
Calculo as derivadas segundas:
Avalio no ponto crítico
:
Determinante da Hessiana no ponto:
Como
, o teste quadrático padrão (que usa o sinal de
e de
) é inconclusivo. Preciso estudar termos de ordem superior ao redor do ponto crítico.
Passo 4
Usar expansão (Taylor) da função perto do ponto crítico para ver comportamento de ordens superiores. Seja
onde
e
é pequeno. Vou expandir
até os menores termos não nulos.
Primeiro, expando
:
Então
Agrupando termos constantes, lineares e de ordem superior:
- Termos constantes (não dependem de
): . Isso é apenas um valor fixo que chamarei . - Termos lineares em
: . Mas lembrando que foi escolhido como raiz de , temos . Logo o termo linear em se anula. - Termos lineares em
: não há termos lineares em porque as menores potências de em são e ; assim não há termo em ou .
Portanto os primeiros termos não nulos após os constantes são:
Agora analiso os termos de menor ordem:
- Em
a menor ordem é com coeficiente . Como , o coeficiente . Assim, ao longo da direção (isto é, variando apenas ), o incremento é não negativo e estritamente positivo para . Isso aponta para comportamento de mínimo ao longo da direção . - Em
a menor ordem é com coeficiente . Termo é de ordem ímpar, logo muda de sinal conforme for positivo ou negativo: para pequeno, ; para pequeno, . Assim, ao variar só (isto é, ), o valor pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal de .
Combinação das observações: existem direções (por exemplo
) nas quais
e outras direções (por exemplo
pequeno) nas quais
. Isso significa que arbitrariamente perto do ponto crítico o valor de
assume valores maiores e menores que
. Essa é a definição prática de um ponto de sela: não é um mínimo nem um máximo, há direções de subida e de descida.
Passo 5
Conclusão: o único ponto crítico real é
. Pelo argumento da expansão em potências, esse ponto é um ponto de sela (não é mínimo nem máximo relativo), porque em direções diferentes o incremento de
tem sinais opostos.
Resposta
Máximos relativos: nenhum
Mínimos relativos: nenhum
Pontos de sela:
Mínimos relativos: nenhum
Pontos de sela: