Sabendo que a variável y depende da variável x, isto é y=y(x), utilize diferenciação implícita para calcular, nas seguintes curvas, tanto a derivada, y^{\prime}(x), quanto a equação da reta tangente à y(x) no ponto P dado:
x^{3}+x^{2} y+y^{3}=8, P=(2,0)

Passo 1

O enunciado fornece a curva implícita
x^{3} + x^{2}y + y^{3} = 8
onde y depende de x, e pede (1) a derivada y'(x) via diferenciação implícita e (2) a reta tangente em P=(2,0).

Passo 2

Diferenciando cada termo em relação a x e lembrando que y=y(x), temos:
\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^2y) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(8).
Isso vira
3x^2 + \bigl(2x\,y + x^2\,y'\bigr) + 3y^2\,y' = 0.

Passo 3

Agrupando os termos com y' de um lado, obtemos
x^2\,y' + 3y^2\,y' = -\bigl(3x^2 + 2x\,y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad (x^2 + 3y^2)\,y' = -(3x^2 + 2x\,y).
Logo,
y'(x) = -\frac{3x^2 + 2x\,y}{x^2 + 3y^2}.

Passo 4

No ponto P=(2,0) temos
y'(2) = -\frac{3\cdot2^2 + 2\cdot2\cdot0}{2^2 + 3\cdot0^2} = -\frac{12}{4} = -3.
A reta tangente em P satisfaz
y - 0 = -3\,(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = -3x + 6.

Resposta

y'(x) = -\displaystyle\frac{3x^2 + 2x\,y}{x^2 + 3y^2}.
Reta tangente em P=(2,0): y = -3x + 6.

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