Sabendo que a variável y depende da variável x, isto é y=y(x), utilize diferenciação implícita para calcular, nas seguintes curvas, tanto a derivada, y^{\prime}(x), quanto a equação da reta tangente à y(x) no ponto P dado:
x^{2}-y^{2}=1, P=(\sqrt{2}, 1)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^{2}-y^{2}=1
e pede (i) a derivada y'(x) obtida por diferenciação implícita e (ii) a reta tangente a essa curva no ponto P=(\sqrt{2},1). Vamos usar a regra da cadeia ao derivar em relação a x.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
x^{2}-y^{2}=1
em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)\;-\;\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)\;=\;\frac{d}{dx}(1)
ou seja
2x \;-\;2y\,y' \;=\;0.

Passo 3

Isolando y' em
2x - 2y\,y' = 0
obtemos
2y\,y' = 2x \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{x}{y}.

Passo 4

No ponto P=(\sqrt{2},1), a inclinação da tangente é
m = y'(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}.

Passo 5

A equação da reta tangente em P=(x_{0},y_{0}) com coeficiente angular m é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).
Substituindo x_{0}=\sqrt{2}, y_{0}=1 e m=\sqrt{2}, vem
y - 1 = \sqrt{2}\,\bigl(x - \sqrt{2}\bigr).

Resposta

y' = \frac{x}{y}
y - 1 = \sqrt{2}\,(x - \sqrt{2})

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