Sabendo que
e
são soluções de uma equação linear não homogênea de segunda ordem, determinar a solução geral desta equação, sendo:
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: Temos três funções,
,
e
, que são soluções de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como combinar essas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem é composta pela solução geral da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação não homogênea.
Ou seja, se a equação homogênea for:
a solução geral será:
Passo 3
Como temos três soluções da equação não homogênea, podemos combinar essas soluções para encontrar a solução geral. Vamos considerar combinações lineares dessas funções:
onde
,
e
são constantes.
Passo 4
No entanto, como a equação é de segunda ordem, apenas duas constantes são necessárias para a solução geral. Isso indica que uma das funções pode ser escrita como uma combinação das outras duas. Vamos verificar isso:
Observando as funções dadas:
Podemos notar que
pode ser escrita como uma combinação de
e
.
Passo 5
Portanto, a solução geral pode ser reduzida para:
Substituindo as funções dadas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.