Sabendo que varphi1, varphi2 e varphi3 são soluções de uma equação linear não homogênea de segunda ordem, determinar a solução geral desta equação, sendo:
(b) varphi1(t)=1+e^t, varphi2(t)=1+t+e^t^2+e^2 t e varphi3(t)=(t+1) e^t^2+1.

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: Temos três funções, varphi1(t)=1+e^t, varphi2(t)=1+t+e^t^2+e^2 t e varphi3(t)=(t+1) e^t^2+1, que são soluções de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como combinar essas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem é composta pela solução geral da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação não homogênea.
Ou seja, se a equação homogênea for:
y'' + p(t)y' + q(t)y = 0
a solução geral será:
y>=ral = yhomogênea + yparticular ê

Passo 3

Como temos três soluções da equação não homogênea, podemos combinar essas soluções para encontrar a solução geral. Vamos considerar combinações lineares dessas funções:
y>=ral = C1 varphi1(t) + C2 varphi2(t) + C3 varphi3(t)
onde C1, C2 e C3 são constantes.

Passo 4

No entanto, como a equação é de segunda ordem, apenas duas constantes são necessárias para a solução geral. Isso indica que uma das funções pode ser escrita como uma combinação das outras duas. Vamos verificar isso:
Observando as funções dadas:
varphi3(t) = (t+1)e^t^2 + 1
Podemos notar que varphi3(t) pode ser escrita como uma combinação de varphi1(t) e varphi2(t).

Passo 5

Portanto, a solução geral pode ser reduzida para:
y>=ral(t) = C1 varphi1(t) + C2 varphi2(t)
Substituindo as funções dadas:
y>=ral(t) = C1 (1 + e^t) + C2 (1 + t + e^t^2 + e^2 t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 (1 + e^t) + C2 (1 + t + e^t^2 + e^2 t)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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