Sabendo que o vetor gradiente de f(x, y), no ponto (1,2), é nabla f(1,2)=(1,-1) e que f(1,2)=3, calcule o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,2, f(1,2)).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de uma função fcolonR^2toR no ponto (1,2,f(1,2)). Sabemos que o vetor gradiente em (1,2) é nabla f(1,2)=(1,-1) e que f(1,2)=3. Vamos usar o conceito de aproximação linear via gradiente para obter o plano tangente.

Passo 2

Lembrando que o vetor gradiente em (a,b) é dado por
nabla f(a,b) = l(fx(a,b),,fy(a,b)r),
logo em (1,2) temos
fx(1,2) = 1, fy(1,2) = -1

Passo 3

A fórmula geral do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)) é
z = f(a,b) + fx(a,b),(x - a) + fy(a,b),(y - b)

Passo 4

Substituindo a=1, b=2, f(1,2)=3, fx(1,2)=1 e fy(1,2)=-1, obtemos
z = 3 + 1cdot(x - 1) + (-1)cdot(y - 2)

Passo 5

Agora simplificamos a expressão:
z = 3 + x - 1 - y + 2 = x - y + 4

Resposta

O plano tangente é
z = x - y + 4

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