use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.
y^prime prime prime+y^prime=sec t, -pi / 2<t<pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear não homogênea
y^primeprimeprime+y'=sec t, -tfracpi2<t<tfracpi2
usando o método de variação de parâmetros. Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y^primeprimeprime+y'=0
Achar suas raízes características:
r^3+r=r,(r^2+1)=0implies r=0,;r=pm i
Logo um sistema fundamental de soluções é
y1(t)=1, y2(t)=cos t, y3(t)=sin t,
e a solução geral homogênea é
yh(t)=C1 + C2cos t + C3sin t

Passo 3

Para variação de parâmetros propomos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)+u3(t),y3(t) =u1+u2cos t+u3sin t
com as condições
u1' + u2'cos t + u3'sin t = 0, 0cdot u1' -u2'sin t + u3'cos t = 0, 0cdot u1' -u2'cos t -u3'sin t = sec t

Passo 4

Da segunda equação vem
-u2'sin t + u3'cos t=0implies u3'=u2'tan t
Da terceira
-,u2'cos t -u3'sin t=sec t ;Rightarrow; -u2'cos t -u2'tan tsin t=sec t ;Rightarrow; -u2'cos^2t+sin^2tcos t=sec t ;Rightarrow; -u2'sec t=sec t ;Rightarrow; u2'=-1
Logo
u2(t)=-!t, u3'(t)=-tan t;Rightarrow;u3(t)=ln|cos t|
Finalmente da primeira equação
u1' = -u2'cos t -u3'sin t = cos t + (tan t)sin t =cos^2t+sin^2tcos t=sec t ;Rightarrow; u1(t)=integralsec t,dt=lnl|sec t+tan tr|

Passo 5

A solução particular é
yp(t)=u1+u2cos t+u3sin t =lnl|sec t+tan tr|-tcos t+sin t,ln|cos t|
Somando à solução homogênea, a solução geral é
y(t)=C1 + C2cos t + C3sin t +lnl|sec t+tan tr|-tcos t+sin t,ln|cos t|

Resposta

boxedy(t)=C1 + C2cos t + C3sin t +lnl|sec t+tan tr|-tcos t+sin t,ln|cos t|, -tfracpi2<t<tfracpi2

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