use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.
y^prime prime prime-y^prime=t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''' - y' = t
usando o método da variação de parâmetros. Trata-se de uma ODE linear de ordem 3 com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada por meio da equação característica e, a seguir, obter uma solução particular yp pelo método da variação de parâmetros.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da parte homogênea y'''-y'=0 como
r^3 - r = r,(r^2-1)=0
As raízes são r=0,,r=1,,r=-1. Logo uma base de soluções fundamentais da homogênea é
y1(t)=1, y2(t)=e^t, y3(t)=e^-t

Passo 3

Pelo método da variação de parâmetros buscamos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)+u3(t),y3(t)
com as condições suplementares
u1'(t),y1(t)+u2'(t),y2(t)+u3'(t),y3(t)=0, u1'(t),y1'(t)+u2'(t),y2'(t)+u3'(t),y3'(t)=0, u1'(t),y1''(t)+u2'(t),y2''(t)+u3'(t),y3''(t)=t

Passo 4

Substituindo y1,y2,y3 e suas derivadas no sistema, obtemos
u1' +u2'e^t+u3'e^-t=0, u1'cdot0+u2'e^t+u3'(-e^-t)=0, u1'cdot0+u2'e^t+u3'e^-t=t
Das duas últimas equações vem
u2'e^t - u3'e^-t=0 Longrightarrow u3'=u2'e^2t,
e
u2'e^t +u3'e^-t=t Longrightarrow 2,u2'e^t =t Longrightarrow u2'=t2e^t,
de onde
u3'=t2e^te^2t=t2e^t
Finalmente, da primeira equação
u1' +t2 +t2=0 Longrightarrow u1'=-t

Passo 5

Integramos cada ui':
u1(t)=integral(-t),dt=-t^22,
u2(t)=integral t2e^-t,dt =-t+12e^-t,
u3(t)=integral t2e^t,dt =t-12e^t

Passo 6

O particular é
yp=u1cdot1 +u2,e^t +u3,e^-t =-t^22 +l(-t+12e^-tr)e^t +l(t-12e^tr)e^-t =-t^22-1
Verifica-se que para yp=-t^22-1 temos yp'''-yp'=t.

Passo 7

A solução geral da ODE é a soma da homogênea com o particular:
y(t)=C1cdot1+C2e^t+C3e^-t -t^22-1
Como -1 pode ser absorvido em C1, escrevemos de forma mais simples:

Resposta

y(t)=A + B,e^t + D,e^-t ;-;t^22,
onde A,B,D são constantes arbitrárias.

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