Sabendo que o vetor \vec{v}=(1,-1,2) forma um ângulo de 60^{\circ} com o vetor \overrightarrow{A B} determinado pelos pontos A(1,-2,3) e B(0, m, 4), calcule o valor de m.
Resp.: m=-3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de m de modo que o ângulo entre o vetor \vec v = (1,-1,2) e o vetor \overrightarrow{AB} seja 60^\circ. Vamos usar o produto escalar e a relação
\cos\theta = \frac{\vec v \cdot \overrightarrow{AB}}{\|\vec v\|\;\|\overrightarrow{AB}\|}.

Passo 2

Primeiro calculamos \overrightarrow{AB} = B - A. Como A(1,-2,3) e B(0,m,4),
\overrightarrow{AB} = (0-1,\;m-(-2),\;4-3) = (-1,\;m+2,\;1).
O produto escalar \vec v \cdot \overrightarrow{AB} é
\vec v \cdot \overrightarrow{AB} = 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(m+2) + 2\cdot1 = -1 - (m+2) + 2 = -m - 1.

Passo 3

As normas são
\|\vec v\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}, \qquad \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-1)^2 + (m+2)^2 + 1^2} = \sqrt{(m+2)^2 + 2}.

Passo 4

Como o ângulo é 60^\circ, \cos 60^\circ = \tfrac12. Logo,
\frac{\vec v \cdot \overrightarrow{AB}}{\|\vec v\|\;\|\overrightarrow{AB}\|} = \frac{-m - 1}{\sqrt{6}\,\sqrt{(m+2)^2+2}} = \frac12.
Multiplicando em cruz e isolando termos, obtemos
-\,\bigl(m + 1\bigr) = \frac{\sqrt{6}}{2}\,\sqrt{(m+2)^2 + 2}.
Como \sqrt{(m+2)^2+2}\ge0, para o produto ser positivo precisamos de m+1<0.

Passo 5

Elevando ao quadrado e simplificando:
\bigl(m+1\bigr)^2 = \frac{6}{4}\,\bigl((m+2)^2+2\bigr) \;\Longrightarrow\; 2\,(m+1)^2 = 3\bigl((m+2)^2+2\bigr).
Expandindo e rearranjando:
2(m^2+2m+1) = 3(m^2+4m+6) \;\Longrightarrow\; 2m^2+4m+2 = 3m^2+12m+18 \;\Longrightarrow\; m^2 + 8m +16 =0.
A solução única é m=-4, que satisfaz m+1<0.

Resposta

m = -4

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