Seja triangle A B C tal que:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right] \quad \mathbf{C}=\left[\begin{array}{c} 4 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right]
Encontre a equação do plano \alpha_{A B C}.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede a equação do plano \alpha_{ABC} que passa por eles. Os dados são:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{pmatrix}4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
O objetivo final: encontrar uma equação do tipo \;ax+by+cz+d=0\; que descreva o plano \alpha_{ABC}.]

Passo 2

Para determinar o plano, primeiro vou obter dois vetores que pertencem ao plano: \mathbf{u}=\mathbf{B}-\mathbf{A} e \mathbf{v}=\mathbf{C}-\mathbf{A}. Subtração componente a componente:
\mathbf{u}=\mathbf{B}-\mathbf{A} =\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-1\\[2pt]1-0\\[2pt]3-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix},
\mathbf{v}=\mathbf{C}-\mathbf{A} =\begin{pmatrix}4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4-1\\[2pt]-1-0\\[2pt]2-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Um vetor normal ao plano pode ser encontrado tomando o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}. O produto vetorial dá um vetor perpendicular aos dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}. Calculo pelo determinante:
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & 1 & 2 \\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo componente a componente:
n_x = 1\cdot1 - 2\cdot(-1)=1+2=3,
n_y = -(1\cdot1 - 2\cdot3)=-(1-6)= -(-5)=5,
n_z = 1\cdot(-1) - 1\cdot3 = -1-3 = -4.
Portanto
\mathbf{n}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]5\\[2pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como checagem rápida, verifico que \mathbf{n} é ortogonal a \mathbf{u} e a \mathbf{v} calculando produtos escalares:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=3\cdot1+5\cdot1+(-4)\cdot2=3+5-8=0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3\cdot3+5\cdot(-1)+(-4)\cdot1=9-5-4=0.
Os resultados são zero, então \mathbf{n} é, de fato, um vetor normal ao plano.

Passo 5

A equação do plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) passando por um ponto \mathbf{P_0}=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui (a,b,c)=(3,5,-4) e posso usar o ponto \mathbf{A}=(1,0,1). Substituindo:
3(x-1)+5(y-0)-4(z-1)=0.
Desenvolvendo:
3x-3+5y-4z+4=0 \quad\Rightarrow\quad 3x+5y-4z+1=0.

Resposta

3x+5y-4z+1=0

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