Objetivos:
(a) Encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível B tais que \,A=B D B^{-1}\,.
(b) Encontrar a matriz de A na base \mathbf{e}_{1}=(1,2) e \mathbf{e}_{2}=(-1,4). Para isso foi definida
Verificação conceitual (modo prático): como A v_1=\lambda_1 v_1 e A v_2=\lambda_2 v_2, isto é equivalente a A B = B D. Multiplicando à direita por B^{-1} (existente se \det B\neq0) obtemos A=B D B^{-1}. Vamos checar \det B:
\det B = 1\cdot(4-\sqrt{2}) - 1\cdot(4+\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}\neq 0,
logo B é invertível e a diagonalização é válida.
Passo 6
Breve nota sobre B^{-1} (fórmula 2×2): se B=\left[\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\right] então B^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\left[\begin{smallmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{smallmatrix}\right].
Aplicado aqui, com \det B=-2\sqrt{2}, tem-se
(Usar essa expressão se desejar calcular explicitamente B D B^{-1}.)
Passo 7
Agora parte (b): mudar para a base \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}. A matriz cujas colunas são as coordenadas das novas base vetoriais em relação à base padrão é