Seja:
A=\left[\begin{array}{cc} -15 & 4 \\\\ -56 & 17 \end{array}\right]
Na base \hat{\mathbf{i}}=(1,0) e \hat{\mathbf{j}}=(0,1).
a) Encontre D diagonal e B tal que A=B D B^{-1}.
Esse é o processo de diagonalização:
\begin{aligned} D & =\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\\\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right] \\\ B & =\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\\ y_{1} & y_{2} \end{array}\right] \end{aligned}
Onde \lambda_{i} é um autovalor de A e x_{i}, y_{i} são as cordenadas do autovetor associado a \lambda_{i}. Para os autovalores de A :
\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc} -15-\lambda & 4 \\\\ -56 & 17-\lambda \end{array}\right|=0 \\\ \therefore(-15-\lambda)(17-\lambda)+224=0 \end{gathered}
Resolvendo a equação do segundo grau em \lambda :
\begin{aligned} & \lambda_{1}=1+4 \sqrt{2} \\\ & \lambda_{2}=1-4 \sqrt{2} \end{aligned}
Para os autovetores de A :
\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{cc} -15 & 4 \\\\ -56 & 17 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ y_{1} \end{array}\right]=\lambda_{1}\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ y_{1} \end{array}\right]} \\\ {\left[\begin{array}{cc} -15 & 4 \\\\ -56 & 17 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{2} \\\ y_{2} \end{array}\right]=\lambda_{2}\left[\begin{array}{l} x_{2} \\\ y_{2} \end{array}\right]} \end{array}\right. \\\ \underset{\text { Subst. }}{\Longrightarrow}\left\{\begin{array}{l} -15 x_{1}+4 y_{1}=(1+4 \sqrt{2}) x_{1} \\\\ -56 x_{1}+17 y_{1}=(1+4 \sqrt{2}) y_{1} \\\\ -15 x_{2}+4 y_{2}=(1-4 \sqrt{2}) x_{2} \\\\ -56 x_{2}+17 y_{2}=(1-4 \sqrt{2}) y_{2} \end{array}\right. \end{gathered}
Escolhendo x_{1}, x_{2}=1 (existem infinitos autovetores, eles são determinados apenas por uma direção) e resolvendo para y_{1}, y_{2} :
\begin{gathered} \left\{\begin{aligned} -15+4 y_{1} & =(1+4 \sqrt{2}) \\\\ -15+4 y_{2} & =(1-4 \sqrt{2}) \end{aligned}\right. \\\ \therefore\left\{\begin{array}{l} y_{1}= \\\ y_{2}= \\\ = \end{array}+\sqrt{2}-\sqrt{2}\right. \end{gathered}
Assim:
\begin{aligned} & D=\left[\begin{array}{cc} 1+4 \sqrt{2} & 0 \\\\ 0 & 1-4 \sqrt{2} \end{array}\right] \\\ & B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 4+\sqrt{2} & 4-\sqrt{2} \end{array}\right] \end{aligned}
b) Encontre A na base \mathbf{e}_{1}=(1,2) e \mathbf{e}_{2}=(-1,4).
Seja:
M:=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right]
Assim, A na base e é dada por M^{-1} A M.
Computando a inversa de M :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{ll} a & c \\\ b & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] } \\\ \therefore & {\left[\begin{array}{ll} a+2 c & -a+4 c \\\ b+2 d & -b+4 d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] } \end{aligned}
Igualando as componentes:
\left\{\begin{array}{l} a+2 c=1 \\\ b+2 d=0 \\\\ -a+4 c=0 \\\\ -b+4 d=1 \end{array}\right.
Resolvendo o sistema:
M^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\\\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}\right]
Assim:
A_{\mathbf{e}}=\left[\begin{array}{cc} -\frac{25}{3} & \frac{124}{3} \\\\ -\frac{4}{3} & \frac{31}{3} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá uma matriz A e uma nova base:
  • Matriz dada:
A=\left[\begin{array}{cc} -15 & 4 \\\\ -56 & 17 \end{array}\right].
  • Objetivos:
    (a) Encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível B tais que \,A=B D B^{-1}\,.
    (b) Encontrar a matriz de A na base \mathbf{e}_{1}=(1,2) e \mathbf{e}_{2}=(-1,4). Para isso foi definida
M=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right],
cuja coluna 1 é \mathbf{e}_1 e coluna 2 é \mathbf{e}_2. A matriz de A nessa base é \,A_{\mathbf{e}}=M^{-1} A M.

Passo 2

Vamos diagonalizar A: primeiro achar os autovalores como raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Calcular \det(A-\lambda I):
\det\left(\begin{array}{cc} -15-\lambda & 4 \\\\ -56 & 17-\lambda \end{array}\right)=(-15-\lambda)(17-\lambda)-4(-56).
Expandindo:
(-15-\lambda)(17-\lambda)+224 = (-15)(17) -15(-\lambda) -\lambda(17) +\lambda^2 +224.
Compute os termos numéricos: (-15)(17)=-255. Então
\lambda^2 -15\lambda -17\lambda -255 +224 = \lambda^2 -2\lambda -31.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2 -2\lambda -31 = 0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática \lambda^2 -2\lambda -31=0 pela fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+124}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{128}}{2}.
Como \sqrt{128}=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}, obtemos
\lambda_{1}=\frac{2+8\sqrt{2}}{2}=1+4\sqrt{2},\qquad \lambda_{2}=\frac{2-8\sqrt{2}}{2}=1-4\sqrt{2}.

Passo 4

Agora achamos autovetores associados a cada autovalor resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda_{1}=1+4\sqrt{2} a primeira equação (linha 1) de (A-\lambda_1 I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 é:
(-15-\lambda_1)x + 4y = 0.
Substituindo \lambda_1:
(-15-(1+4\sqrt{2}))x + 4y = (-16-4\sqrt{2})x + 4y =0.
Dividindo por 4:
(-4-\sqrt{2})x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y=(4+\sqrt{2})x.
Escolhemos a escala x=1 (autovetores são definidos até constante não-nula), logo um autovetor correspondente é
v_1=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]4+\sqrt{2}\end{array}\right].
Para \lambda_{2}=1-4\sqrt{2} procedimento idêntico:
(-15-\lambda_2)x + 4y = (-16+4\sqrt{2})x + 4y =0,
dividindo por 4:
(-4+\sqrt{2})x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y=(4-\sqrt{2})x.
Escolhendo x=1 obtemos um autovetor
v_2=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]4-\sqrt{2}\end{array}\right].]

Passo 5

Montamos B com colunas os autovetores e D com os autovalores na diagonal (ordem correspondente às colunas de B):
B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 4+\sqrt{2} & 4-\sqrt{2} \end{array}\right],\qquad D=\left[\begin{array}{cc} 1+4\sqrt{2} & 0 \\\\ 0 & 1-4\sqrt{2} \end{array}\right].
Verificação conceitual (modo prático): como A v_1=\lambda_1 v_1 e A v_2=\lambda_2 v_2, isto é equivalente a A B = B D. Multiplicando à direita por B^{-1} (existente se \det B\neq0) obtemos A=B D B^{-1}. Vamos checar \det B:
\det B = 1\cdot(4-\sqrt{2}) - 1\cdot(4+\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}\neq 0,
logo B é invertível e a diagonalização é válida.

Passo 6

Breve nota sobre B^{-1} (fórmula 2×2): se B=\left[\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\right] então B^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\left[\begin{smallmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{smallmatrix}\right].
Aplicado aqui, com \det B=-2\sqrt{2}, tem-se
B^{-1}=\frac{1}{-2\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc} 4-\sqrt{2} & -1 \\\\ -(4+\sqrt{2}) & 1 \end{array}\right].
(Usar essa expressão se desejar calcular explicitamente B D B^{-1}.)

Passo 7

Agora parte (b): mudar para a base \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}. A matriz cujas colunas são as coordenadas das novas base vetoriais em relação à base padrão é
M=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right].
A matriz de mudança de base (da base padrão para a base \mathbf{e}) é M. A fórmula para a matriz de A na nova base é
A_{\mathbf{e}}=M^{-1} A M.

Passo 8

Calcular M^{-1}. Primeiro \det M = 1\cdot4 - (-1)\cdot 2 = 4+2=6. Pela fórmula 2×2,
M^{-1}=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc} 4 & 1 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\\\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}\right].

Passo 9

Calcular A M (faça primeiro essa multiplicação):
A M=\left[\begin{array}{cc} -15 & 4 \\\\ -56 & 17 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ 2 & 4 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} -15\cdot1+4\cdot2 & -15\cdot(-1)+4\cdot4 \\\\ -56\cdot1+17\cdot2 & -56\cdot(-1)+17\cdot4 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} -7 & 31 \\\\ -22 & 124 \end{array}\right].

Passo 10

Agora A_{\mathbf{e}}=M^{-1}(A M). Multiplicando:
M^{-1}(A M)=\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\\\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -7 & 31 \\\\ -22 & 124 \end{array}\right].
Calcule elemento a elemento:
Elemento (1,1):
\frac{2}{3}\cdot(-7)+\frac{1}{6}\cdot(-22)=-\frac{14}{3}-\frac{22}{6}=-\frac{14}{3}-\frac{11}{3}=-\frac{25}{3}.
Elemento (1,2):
\frac{2}{3}\cdot31+\frac{1}{6}\cdot124=\frac{62}{3}+\frac{124}{6}=\frac{62}{3}+\frac{62}{3}=\frac{124}{3}.
Elemento (2,1):
-\frac{1}{3}\cdot(-7)+\frac{1}{6}\cdot(-22)=\frac{7}{3}-\frac{22}{6}=\frac{7}{3}-\frac{11}{3}=-\frac{4}{3}.
Elemento (2,2):
-\frac{1}{3}\cdot31+\frac{1}{6}\cdot124=-\frac{31}{3}+\frac{124}{6}=-\frac{31}{3}+\frac{62}{3}=\frac{31}{3}.
Portanto
A_{\mathbf{e}}=\left[\begin{array}{cc} -\dfrac{25}{3} & \dfrac{124}{3} \\\\ -\dfrac{4}{3} & \dfrac{31}{3} \end{array}\right].

Resposta

D=\left[\begin{array}{cc} 1+4\sqrt{2} & 0 \\\\ 0 & 1-4\sqrt{2} \end{array}\right]
B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 4+\sqrt{2} & 4-\sqrt{2} \end{array}\right]
A_{\mathbf{e}}=\left[\begin{array}{cc} -\dfrac{25}{3} & \dfrac{124}{3} \\ -\dfrac{4}{3} & \dfrac{31}{3} \end{array}\right]

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