Sabendo que y_{1}=e^{x} é uma solução da EDO homogênea associada a
x y^{\prime \prime}-2(x+1) y^{\prime}+(x+2) y=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y''-2(x+1)\,y'+(x+2)\,y=x^{3}
e informa que y_{1}=e^{x} é uma solução da EDO homogênea associada. O que precisamos obter (implícito no enunciado) é a solução geral da EDO completa (isto é, a solução geral da homogênea mais uma solução particular da não-homogênea). Informações relevantes fornecidas:
\text{Equação: }x\,y''-2(x+1)\,y'+(x+2)\,y=x^{3},çã
\text{Solução conhecida da homogênea: }y_{1}=e^{x}.çãê
Não há figura ou tabela; todos os dados necessários estão no enunciado.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=r(x). Para isso dividimos por x (assumindo x\neq0; depois comentamos domínio):
y''-2\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)y'+\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)y=x^{2}.
Aqui identifiquei:
p(x)=-2\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr),\qquad q(x)=1+\frac{2}{x},\qquad r(x)=x^{2}.
Explicando rápido: a forma padrão é útil porque as fórmulas de redução de ordem e de variação de parâmetros são dadas para equações com coeficiente do y'' igual a 1. Dividimos por x para alcançar isso (por isso a solução vale para x\neq0).

Passo 3

Agora vamos achar a segunda solução y_{2} da homogênea usando redução de ordem. Ideia: se y_{1} é conhecida, procuramos y_{2}=v(x)\,y_{1}(x) com v variável. Há uma fórmula direta (resultado padrão da técnica) que dá uma solução independente:
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Breve explicação da fórmula: ao substituir y_{2}=v y_{1} na homogênea e impor uma condição que simplifica as expressões (típico escolher v'y_{1} para eliminar termos), chega-se à uma equação de primeira ordem para v' cuja solução tem essa integral. Não preciso derivar tudo aqui, mas essa é a ferramenta padrão quando se conhece uma solução.

Passo 4

Calculemos os termos dessa fórmula. Primeiro
\int p(x)\,dx=\int\Bigl(-2-\frac{2}{x}\Bigr)\,dx=-2x-2\ln|x|.
Então
e^{-\int p(x)\,dx}=e^{2x+2\ln|x|}=e^{2x}\,x^{2}.
Substituímos na fórmula:
y_{2}=e^{x}\int \frac{x^{2}e^{2x}}{(e^{x})^{2}}\,dx = e^{x}\int x^{2}\,dx.
Integramos:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
Para obter uma solução linearmente independente basta tomar o C=0. Assim uma escolha conveniente é
y_{2}=\frac{x^{3}}{3}e^{x}.
Podemos absorver o fator constante 1/3 em uma constante arbitrária da solução geral, então é mais simples tomar
y_{2}=x^{3}e^{x}.
Verificação rápida (intuição): y_{2} é diferente de y_{1} e não é múltiplo constante de y_{1}, logo são linearmente independentes.

Passo 5

A solução geral da homogênea é, portanto,
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}.
Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Como já temos duas soluções fundamentais da homogênea, a técnica natural é variação de parâmetros. Explico a ideia: buscamos funções u_{1}(x),u_{2}(x) tais que
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
e impomos condições que tornam as equações para u_{1}',u_{2}' simples. As fórmulas finais (padrão) são:
u_{1}'=-\frac{y_{2}\,r}{W},\qquad u_{2}'=\frac{y_{1}\,r}{W},
onde W é o wronskiano W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} e r é o termo do lado direito na forma padrão (aqui r(x)=x^{2}).

Passo 6

Calculamos o wronskiano para y_{1}=e^{x} e y_{2}=x^{3}e^{x}. Primeiro as derivadas:
y_{1}'=e^{x},\qquad y_{2}'=(x^{3}e^{x})'=e^{x}(x^{3}+3x^{2})=e^{x}x^{2}(x+3).
Então
W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{x}\cdot e^{x}x^{2}(x+3)-e^{x}\cdot x^{3}e^{x} =e^{2x}\bigl(x^{2}(x+3)-x^{3}\bigr)=3x^{2}e^{2x}.
Observe: W não é nulo para x\neq0, confirmando independência linear.

Passo 7

Agora as derivadas u_{1}' e u_{2}'. Usando r(x)=x^{2}:
u_{1}'=-\frac{y_{2}r}{W}=-\frac{x^{3}e^{x}\cdot x^{2}}{3x^{2}e^{2x}} =-\frac{x^{3}}{3e^{x}},
u_{2}'=\frac{y_{1}r}{W}=\frac{e^{x}\cdot x^{2}}{3x^{2}e^{2x}}=\frac{1}{3e^{x}}.
Simplifiquei cancelando os fatores x^{2} e e^{x} quando possível.

Passo 8

Integramos para obter u_{1} e u_{2}.
Para u_{2}:
u_{2}=\int \frac{1}{3}e^{-x}\,dx=-\frac{1}{3}e^{-x}+C.
Podemos tomar a constante C=0 (qualquer constante seria incorporada na solução homogênea). Logo usamos
u_{2}=-\frac{1}{3}e^{-x}.
Para u_{1}:
u_{1}=-\frac{1}{3}\int x^{3}e^{-x}\,dx.
Precisamos calcular I=\int x^{3}e^{-x}\,dx. Fazemos integração por partes repetida (mostro passo a passo):
  • Tome u=x^{3}, dv=e^{-x}dx. Então du=3x^{2}dx, v=-e^{-x}.
  • Assim I=-x^{3}e^{-x}+3\int x^{2}e^{-x}dx.
    Agora calcule J=\int x^{2}e^{-x}dx:
  • Tome u=x^{2}, dv=e^{-x}dx. Então du=2x dx, v=-e^{-x}.
  • Assim J=-x^{2}e^{-x}+2\int x e^{-x}dx.
    Calcule K=\int x e^{-x}dx:
  • Tome u=x, dv=e^{-x}dx. Então du=dx, v=-e^{-x}.
  • Assim K=-x e^{-x}+\int e^{-x}dx=-x e^{-x}-e^{-x}=-e^{-x}(x+1).
    Voltemos:
J=-x^{2}e^{-x}+2\bigl(-e^{-x}(x+1)\bigr)=-e^{-x}(x^{2}+2x+2).
E então
I=-x^{3}e^{-x}+3\bigl(-e^{-x}(x^{2}+2x+2)\bigr)=-e^{-x}\bigl(x^{3}+3x^{2}+6x+6\bigr).
Portanto
u_{1}=-\frac{1}{3}I=\frac{1}{3}e^{-x}\bigl(x^{3}+3x^{2}+6x+6\bigr).
Novamente descartamos constantes de integração pois elas entram na parte homogênea.

Passo 9

Montamos y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo:
u_{1}y_{1}=\frac{1}{3}e^{-x}(x^{3}+3x^{2}+6x+6)\cdot e^{x}=\frac{1}{3}(x^{3}+3x^{2}+6x+6),
u_{2}y_{2}=-\frac{1}{3}e^{-x}\cdot x^{3}e^{x}=-\frac{1}{3}x^{3}.
Somando:
y_{p}=\frac{1}{3}(x^{3}+3x^{2}+6x+6)-\frac{1}{3}x^{3} =\frac{1}{3}(3x^{2}+6x+6)=x^{2}+2x+2.
Surpresa agradável: a parte particular é um polinômio simples. Verifique mentalmente que um polinômio de grau 2 tem sentido porque o lado direito da equação padrão é x^{2}.

Passo 10

A solução geral da EDO não-homogênea (para x\neq0) é a soma da homogênea com a particular:
y=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}+x^{2}+2x+2,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias. Dica final: a divisão por x no início exige x\neq0; para incluir x=0 seria preciso checar separadamente se existe solução contínua ali, mas para propósitos de provas normalmente explicita-se o domínio x\neq0.

Resposta

y=C_{1}e^{x}+C_{2}x^{3}e^{x}+x^{2}+2x+2

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