Sabendo que
é uma solução da EDO homogênea associada a
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que
é uma solução da EDO homogênea associada. O que precisamos obter (implícito no enunciado) é a solução geral da EDO completa (isto é, a solução geral da homogênea mais uma solução particular da não-homogênea). Informações relevantes fornecidas:
Não há figura ou tabela; todos os dados necessários estão no enunciado.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
. Para isso dividimos por
(assumindo
; depois comentamos domínio):
Aqui identifiquei:
Explicando rápido: a forma padrão é útil porque as fórmulas de redução de ordem e de variação de parâmetros são dadas para equações com coeficiente do
igual a
. Dividimos por
para alcançar isso (por isso a solução vale para
).
Passo 3
Agora vamos achar a segunda solução
da homogênea usando redução de ordem. Ideia: se
é conhecida, procuramos
com
variável. Há uma fórmula direta (resultado padrão da técnica) que dá uma solução independente:
Breve explicação da fórmula: ao substituir
na homogênea e impor uma condição que simplifica as expressões (típico escolher
para eliminar termos), chega-se à uma equação de primeira ordem para
cuja solução tem essa integral. Não preciso derivar tudo aqui, mas essa é a ferramenta padrão quando se conhece uma solução.
Passo 4
Calculemos os termos dessa fórmula. Primeiro
Então
Substituímos na fórmula:
Integramos:
Para obter uma solução linearmente independente basta tomar o
. Assim uma escolha conveniente é
Podemos absorver o fator constante
em uma constante arbitrária da solução geral, então é mais simples tomar
Verificação rápida (intuição):
é diferente de
e não é múltiplo constante de
, logo são linearmente independentes.
Passo 5
A solução geral da homogênea é, portanto,
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Como já temos duas soluções fundamentais da homogênea, a técnica natural é variação de parâmetros. Explico a ideia: buscamos funções
tais que
e impomos condições que tornam as equações para
simples. As fórmulas finais (padrão) são:
onde
é o wronskiano
e
é o termo do lado direito na forma padrão (aqui
).
Passo 6
Calculamos o wronskiano para
e
. Primeiro as derivadas:
Então
Observe:
não é nulo para
, confirmando independência linear.
Passo 7
Agora as derivadas
e
. Usando
:
Simplifiquei cancelando os fatores
e
quando possível.
Passo 8
Integramos para obter
e
.
Para
:
Podemos tomar a constante
(qualquer constante seria incorporada na solução homogênea). Logo usamos
Para
:
Precisamos calcular
. Fazemos integração por partes repetida (mostro passo a passo):
- Tome
, . Então , . - Assim
.
Agora calcule: - Tome
, . Então , . - Assim
.
Calcule: - Tome
, . Então , . - Assim
.
Voltemos:
E então
Portanto
Novamente descartamos constantes de integração pois elas entram na parte homogênea.
Passo 9
Montamos
. Substituindo:
Somando:
Surpresa agradável: a parte particular é um polinômio simples. Verifique mentalmente que um polinômio de grau
tem sentido porque o lado direito da equação padrão é
.
Passo 10
A solução geral da EDO não-homogênea (para
) é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias. Dica final: a divisão por
no início exige
; para incluir
seria preciso checar separadamente se existe solução contínua ali, mas para propósitos de provas normalmente explicita-se o domínio
.