Resolva o PVI.
y^{\prime}=\frac{4 y}{4 x+y}, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI). As informações fornecidas são:
y'=\frac{4y}{4x+y},
com a condição inicial
y(1)=1.
A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da equação (não vamos resolver ainda, só notar): a razão do lado direito depende da razão y/x (se você substituir x\to tx e y\to ty o valor não muda). Por isso é conveniente fazer a substituição
v=\frac{y}{x},
que significa que estamos escrevendo y como y=vx. Vou explicar por que essa substituição ajuda e como usá-la.

Passo 3

Faça a substituição y=vx. Primeiro calcule y' em termos de v e x. Como y=vx, aplicando a regra do produto:
y'=\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui v é função de x: v=v(x). É importante entender que trocamos uma equação para y(x) por outra para v(x), que costuma ficar separável.

Passo 4

Substitua y=vx e y'=v+xv' na equação original:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{4(vx)}{4x+vx}.
Agora simplificamos o lado direito. Colocando x em evidência no denominador:
\frac{4(vx)}{4x+vx}=\frac{4v x}{x(4+v)}=\frac{4v}{4+v}.
Portanto a equação fica
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{4v}{4+v}.

Passo 5

Isolamos x\frac{dv}{dx}. Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{4v}{4+v}-v.
Coloque em denominador comum para facilitar:
\frac{4v}{4+v}-v=\frac{4v - v(4+v)}{4+v}=\frac{4v-4v-v^2}{4+v}=\frac{-v^2}{4+v}.
Logo
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^2}{4+v}.

Passo 6

Agora separamos variáveis: colocamos termos com v de um lado e termos com x do outro. Dividindo ambos os lados por x e multiplicando por (4+v)/v^2, obtemos
\frac{4+v}{v^2}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Explico a separação: queremos que todas as ocorrências de v fiquem multiplicando dv e toda ocorrência de x fique com dx, para poder integrar cada lado independentemente.

Passo 7

Integramos ambos os lados. Primeiro note que
\frac{4+v}{v^2}=\frac{4}{v^2}+\frac{1}{v}.
Então a integral à esquerda é a soma das integrais de 4v^{-2} e v^{-1}. Integramos termo a termo:
\int\left(\frac{4}{v^2}+\frac{1}{v}\right)dv =4\int v^{-2}dv+\int v^{-1}dv =4\left(-\frac{1}{v}\right)+\ln|v|.
A integral do lado direito é
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Juntando os dois lados:
-\frac{4}{v}+\ln|v|=-\ln|x|+C.

Passo 8

Volte à variável y. Lembre que v=\dfrac{y}{x}. Substituindo e usando a propriedade dos logaritmos \ln|v|+\ln|x|=\ln|vx|=\ln|y|, temos:
\ln|v|-\frac{4}{v}=-\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad \ln|v|+\ln|x|-\frac{4}{v}=C
\Longrightarrow\quad \ln|y|-\frac{4x}{y}=C,
pois \dfrac{4}{v}=\dfrac{4}{y/x}=\dfrac{4x}{y}.

Passo 9

Aplique a condição inicial y(1)=1 para encontrar C. Substituindo x=1 e y=1 na expressão anterior:
\ln|1|-\frac{4\cdot 1}{1}=C \quad\Rightarrow\quad 0-4=C,
logo C=-4.

Passo 10

Portanto a solução implícita do PVI é
\ln|y|-\frac{4x}{y}=-4.
Observação prática: como a condição inicial dá y(1)=1>0 e a solução é contínua perto de x=1, podemos tirar as barras de valor absoluto e escrever \ln y-\dfrac{4x}{y}=-4 na vizinhança do ponto inicial. Resolver explicitamente para y em função de x com formas elementares não é possível; seria necessário usar a função de Lambert W. Mas para a prova normalmente a forma implícita acima é aceitável e suficiente.

Resposta

\ln|y|-\dfrac{4x}{y}=-4

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