Resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI). As informações fornecidas são:
com a condição inicial
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da equação (não vamos resolver ainda, só notar): a razão do lado direito depende da razão
(se você substituir
e
o valor não muda). Por isso é conveniente fazer a substituição
que significa que estamos escrevendo
como
. Vou explicar por que essa substituição ajuda e como usá-la.
Passo 3
Faça a substituição
. Primeiro calcule
em termos de
e
. Como
, aplicando a regra do produto:
Aqui
é função de
:
. É importante entender que trocamos uma equação para
por outra para
, que costuma ficar separável.
Passo 4
Substitua
e
na equação original:
Agora simplificamos o lado direito. Colocando
em evidência no denominador:
Portanto a equação fica
Passo 5
Isolamos
. Subtraindo
dos dois lados:
Coloque em denominador comum para facilitar:
Logo
Passo 6
Agora separamos variáveis: colocamos termos com
de um lado e termos com
do outro. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, obtemos
Explico a separação: queremos que todas as ocorrências de
fiquem multiplicando
e toda ocorrência de
fique com
, para poder integrar cada lado independentemente.
Passo 7
Integramos ambos os lados. Primeiro note que
Então a integral à esquerda é a soma das integrais de
e
. Integramos termo a termo:
A integral do lado direito é
onde
é a constante de integração. Juntando os dois lados:
Passo 8
Volte à variável
. Lembre que
. Substituindo e usando a propriedade dos logaritmos
, temos:
pois
.
Passo 9
Aplique a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
na expressão anterior:
logo
.
Passo 10
Portanto a solução implícita do PVI é
Observação prática: como a condição inicial dá
e a solução é contínua perto de
, podemos tirar as barras de valor absoluto e escrever
na vizinhança do ponto inicial. Resolver explicitamente para
em função de
com formas elementares não é possível; seria necessário usar a função de Lambert
. Mas para a prova normalmente a forma implícita acima é aceitável e suficiente.