Resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
com as condições iniciais
Dados relevantes que temos: a equação diferencial é válida para
(porque aparecerá
mais adiante) e foram fornecidos valores de
e de
no ponto
. O que o problema pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Observação sobre a forma da equação (por que eu escolho esse caminho): os coeficientes multiplicando
,
e
são
— potências de
. Nesses casos é natural tentar a solução do tipo
porque para esse tipo de equação (chamada equação de Euler–Cauchy) a substituição
reduz a equação diferencial a um polinômio em
. Vou seguir esse método porque é o mais direto e foi feito justamente para equações com coeficientes proporcionais a potências de
.
Passo 3
Calcule as derivadas quando
. Usando regras básicas de derivação:
Agora substituímos na equação original:
Simplificando os fatores
(todos os termos contêm
):
Passo 4
Como
não é identicamente zero para
, o coeficiente deve se anular. Então obtemos a equação característica
Simplificando:
Passo 5
Resolva a equação característica:
Aqui temos raízes complexas conjugadas
com
e
. Para equações de Euler–Cauchy, quando as raízes são complexas
, a forma geral das soluções reais é
onde
é o logaritmo natural. Essa fórmula vem de escrever
e separar as partes real e imaginária (usando
).
Passo 6
No nosso caso
e
, portanto a solução geral real toma a forma
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora precisamos de
para aplicar
. Derivando
usando a regra da cadeia:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 8
Use a condição
. Primeiro note que
,
,
. Substituindo em
:
Como
, obtemos
Passo 9
Use a condição
. Avaliando a expressão de
em
(lembre
,
,
, e
em
):
Como
, temos
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz o PVI: