Resolva o PVI.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0, \quad y(1)=1, \quad y^{\prime}(1)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
x^{2}y''+x y'+y=0,
com as condições iniciais
y(1)=1,\qquad y'(1)=2.
Dados relevantes que temos: a equação diferencial é válida para x>0 (porque aparecerá \ln x mais adiante) e foram fornecidos valores de y e de y' no ponto x=1. O que o problema pede é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Observação sobre a forma da equação (por que eu escolho esse caminho): os coeficientes multiplicando y'', y' e y são \,x^{2}\,,\,x\,,\,1 — potências de x. Nesses casos é natural tentar a solução do tipo
y=x^{r},
porque para esse tipo de equação (chamada equação de Euler–Cauchy) a substituição y=x^{r} reduz a equação diferencial a um polinômio em r. Vou seguir esse método porque é o mais direto e foi feito justamente para equações com coeficientes proporcionais a potências de x.

Passo 3

Calcule as derivadas quando y=x^{r}. Usando regras básicas de derivação:
y'=r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Agora substituímos na equação original:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)+x\bigl(r x^{r-1}\bigr)+x^{r}=0.
Simplificando os fatores x (todos os termos contêm x^{r}):
\bigl(r(r-1)+r+1\bigr)x^{r}=0.

Passo 4

Como x^{r} não é identicamente zero para x>0, o coeficiente deve se anular. Então obtemos a equação característica
r(r-1)+r+1=0.
Simplificando:
r^{2}+1=0.

Passo 5

Resolva a equação característica:
r^{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm i.
Aqui temos raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=1. Para equações de Euler–Cauchy, quando as raízes são complexas \alpha\pm i\beta, a forma geral das soluções reais é
y(x)=x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr),
onde \ln x é o logaritmo natural. Essa fórmula vem de escrever x^{r}=e^{r\ln x}=e^{\alpha\ln x}e^{i\beta\ln x} e separar as partes real e imaginária (usando e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta).

Passo 6

No nosso caso \alpha=0 e \beta=1, portanto a solução geral real toma a forma
y(x)=A\cos(\ln x)+B\sin(\ln x),
onde A e B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora precisamos de y'(x) para aplicar y'(1)=2. Derivando y(x)=A\cos(\ln x)+B\sin(\ln x) usando a regra da cadeia:
  • Derivada de \cos(\ln x) é -\sin(\ln x)\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=-\sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}.
  • Derivada de \sin(\ln x) é \cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}.
    Portanto
y'(x)=A\Bigl(-\frac{\sin(\ln x)}{x}\Bigr)+B\Bigl(\frac{\cos(\ln x)}{x}\Bigr) =\frac{1}{x}\bigl(-A\sin(\ln x)+B\cos(\ln x)\bigr).

Passo 8

Use a condição y(1)=1. Primeiro note que \ln 1=0, \cos 0=1, \sin 0=0. Substituindo em y(x):
y(1)=A\cos(\ln 1)+B\sin(\ln 1)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Como y(1)=1, obtemos
A=1.

Passo 9

Use a condição y'(1)=2. Avaliando a expressão de y'(x) em x=1 (lembre \ln 1=0, \sin 0=0, \cos 0=1, e 1/x=1 em x=1):
y'(1)=\frac{1}{1}\bigl(-A\sin 0 + B\cos 0\bigr)= -A\cdot 0 + B\cdot 1 = B.
Como y'(1)=2, temos
B=2.

Passo 10

Substituindo A=1 e B=2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz o PVI:
y(x)=\cos(\ln x)+2\sin(\ln x).

Resposta

\displaystyle y(x)=\cos(\ln x)+2\sin(\ln x)

Exercícios relacionados