Sabendo-se que
é uma solução da equação
encontre a solução geral da mesma.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
em
e informa que
é uma solução. O conteúdo aqui é equações lineares de ordem 2 e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução e montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro dividimos a equação por
para colocá-la na forma padrão
. Assim obtemos
Passo 3
Da forma padrão reconhecemos
Pelo método de redução de ordem, uma segunda solução pode ser escrita como
Passo 4
Calculamos o fator dentro da integral. Primeiro
então
Passo 5
Agora integramos
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 6
Logo
Como constantes multiplicativas não importam na solução geral, podemos escolher
.
Passo 7
A solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes:
Resposta
y(x) = C_1\cos(x^2) + C_2\sin(x^2)