Sabendo-se que y1=cos (x^2) é uma solução da equação
x y^prime prime-y^prime+4 x^3 y=0, x>0
encontre a solução geral da mesma.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem x y'' - y' + 4x^3 y = 0 em x>0 e informa que y1 = cos(x^2) é uma solução. O conteúdo aqui é equações lineares de ordem 2 e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução e montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro dividimos a equação por x para colocá-la na forma padrão y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. Assim obtemos
y'' - 1xy' + 4x^2 y = 0

Passo 3

Da forma padrão reconhecemos
p(x) = -1x, q(x) = 4x^2
Pelo método de redução de ordem, uma segunda solução pode ser escrita como
y2 = y1 integral e^-integral p(x)dxy1^2,dx

Passo 4

Calculamos o fator dentro da integral. Primeiro
-integral p(x),dx = -integral l(-1xr)dx = integral 1xdx = ln x,
então
e^-integral p(x)dxy1^2 = e^ln xcos^2(x^2) = xcos^2(x^2) = xsec^2(x^2)

Passo 5

Agora integramos
integral xsec^2(x^2),dx
Fazendo a substituição t = x^2, dt = 2x,dx, obtemos
integral xsec^2(x^2),dx = 12integral sec^2(t),dt = 12tan(t) + C = 12tan(x^2) + C

Passo 6

Logo
y2 = y1 l(tfrac12tan(x^2)r) = cos(x^2)cdot 12tan(x^2) = 12sin(x^2)
Como constantes multiplicativas não importam na solução geral, podemos escolher y2 = sin(x^2).

Passo 7

A solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes:
y(x) = C1cos(x^2) + C2sin(x^2), onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1\cos(x^2) + C_2\sin(x^2)

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