A sacarose, um açúcar, decompõe-se em solução ácida em glicose e frutose. A reação é de primeira ordem e dependente da concentração da sacarose, tendo constante de velocidade a 25^{\circ} \mathrm{C} de 0,21 \mathrm{~h}^{-1}. Se a concentração inicial de sacarose for 0,010 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}, qual será a concentração de sacarose após exatamente 5,0 \mathrm{~h} ?

Passo 1

O enunciado pede a concentração de sacarose após um tempo, e fornece os seguintes dados:
  • constante de velocidade: k = 0,21\\ \mathrm{h}^{-1},
  • concentração inicial de sacarose: [A]_0 = 0,010\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
  • tempo decorrido: t = 5,0\\ \mathrm{h}.
A pergunta é: qual será a concentração de sacarose [A](t) exatamente após 5,0\\ \mathrm{h}?

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e direta): reação de primeira ordem significa que a velocidade de desaparecimento da espécie depende linearmente da sua concentração. Escrevemos a lei diferencial assim:
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A],
onde [A] é a concentração em função do tempo, t é o tempo e k é a constante de velocidade (a unidade de k é o inverso da unidade de tempo, aqui \mathrm{h}^{-1}).
Para resolver essa equação diferencial usamos separação de variáveis: colocamos todos os termos com [A] de um lado e os termos com t do outro:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados entre o instante inicial t=0 (com [A]=[A]_0) e um tempo genérico t (com [A]=[A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.

Passo 3

Fazendo as integrais obtemos a forma integrada da cinética de primeira ordem:
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -k\,t.
Essa fórmula é muito útil: ela relaciona a razão entre a concentração em t e a inicial com -kt. Podemos isolar [A](t) exponenciando ambos os lados:
[A](t) = [A]_0\,e^{-k t}.
Aqui cada símbolo significa:
  • [A](t): concentração no tempo t,
  • [A]_0: concentração inicial (no tempo 0),
  • k: constante de velocidade (aqui em \mathrm{h}^{-1}),
  • t: tempo em horas,
  • e: base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828\ldots).

Passo 4

Substituímos os valores numéricos na expressão:
[A](5,0\\ \mathrm{h}) = 0,010\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\times e^{-\,0,21\times 5,0}.
Calculemos k t:
k t = 0,21\times 5,0 = 1,05.
Então:
[A](5,0\\ \mathrm{h}) = 0,010\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\times e^{-1,05}.
Para avaliar e^{-1,05} sem pular etapas, uma boa aproximação prática é decompor: e^{-1,05}=e^{-1}\times e^{-0,05}. Usando valores conhecidos aproximados e^{-1}\approx 0,3679 e e^{-0,05}\approx 0,9512, obtemos
e^{-1,05}\approx 0,3679\times 0,9512 \approx 0,3499.

Passo 5

Agora multiplicamos pela concentração inicial:
[A](5,0\\ \mathrm{h}) \approx 0,010\times 0,3499 = 0,003499\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos dados (a menor precisão vem de k=0,21 e t=5,0, ambos com 2 algarismos significativos), damos a resposta com 2 algarismos significativos:
[A](5,0\\ \mathrm{h}) \approx 3,5\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Resposta

3,5\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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