A sacarose, um açúcar, decompõe-se em solução ácida em glicose e frutose. A reação é de primeira ordem e dependente da concentração da sacarose, tendo constante de velocidade a
de
. Se a concentração inicial de sacarose for
, qual será a concentração de sacarose após exatamente
?
Passo 1
O enunciado pede a concentração de sacarose após um tempo, e fornece os seguintes dados:
- constante de velocidade:
, - concentração inicial de sacarose:
, - tempo decorrido:
.
A pergunta é: qual será a concentração de sacarose
exatamente após
?
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e direta): reação de primeira ordem significa que a velocidade de desaparecimento da espécie depende linearmente da sua concentração. Escrevemos a lei diferencial assim:
onde
é a concentração em função do tempo,
é o tempo e
é a constante de velocidade (a unidade de
é o inverso da unidade de tempo, aqui
).
Para resolver essa equação diferencial usamos separação de variáveis: colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Agora integramos ambos os lados entre o instante inicial
(com
) e um tempo genérico
(com
):
Passo 3
Fazendo as integrais obtemos a forma integrada da cinética de primeira ordem:
Essa fórmula é muito útil: ela relaciona a razão entre a concentração em
e a inicial com
. Podemos isolar
exponenciando ambos os lados:
Aqui cada símbolo significa:
-
: concentração no tempo , -
: concentração inicial (no tempo ), -
: constante de velocidade (aqui em ), -
: tempo em horas, -
: base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Passo 4
Substituímos os valores numéricos na expressão:
Calculemos
:
Então:
Para avaliar
sem pular etapas, uma boa aproximação prática é decompor:
. Usando valores conhecidos aproximados
e
, obtemos
Passo 5
Agora multiplicamos pela concentração inicial:
Arredondando de acordo com os algarismos significativos dados (a menor precisão vem de
e
, ambos com 2 algarismos significativos), damos a resposta com 2 algarismos significativos: