Determine a área da superfície.
42.A parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que se encontra entre o plano \mathrm{y}=x \mathrm{e} o cilindro y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície do cone dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que fica “entre” as duas superfícies verticais y=x (um plano vertical) e y=x^{2} (um cilindro vertical, pois a curva y=x^{2} é estendida para todo z).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A superfície é o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (somente a parte com z\ge 0).\n
  • As duas curvas/ superfícies que limitam lateralmente a região sobre o cone são y=x e y=x^{2}.\n
  • Preciso encontrar a área da porção do cone contida entre essas duas “paredes” verticais.\n
    Observação: a região pedida é finita porque as curvas y=x e y=x^{2} se interceptam em pontos que fecham uma região projetada no plano xy.

Passo 2

Vamos usar a estratégia de projeção: a área de uma superfície dada como gráfico z=f(x,y) sobre uma região D do plano xy é dada pela fórmula
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\;dA.Á
Explicando essa fórmula de forma simples: para uma pequena parcela da região D de área dA, a superfície está inclinada; o fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} corrige dA para a área real nessa pequena peça da superfície (é como multiplicar pela “hipotenusa” gerada pela inclinação). Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente, e dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 3

No nosso caso f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Calculamos as derivadas parciais (vou mostrar passo a passo):\n
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}} =\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Agora somamos os quadrados:
\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2} =\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1.
Portanto o fator sob a raiz fica 1+1=2, e assim o integrando é a constante \sqrt{2}. Ou seja
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{2}.
Isso simplifica muito a integral de área: a área da porção do cone é simplesmente \sqrt{2} vezes a área da região de projeção D no plano xy.

Passo 4

Precisamos agora descrever a região D, que é a projeção no plano xy da porção do cone que fica entre y=x e y=x^{2}. Como as superfícies que limitam são verticais, a projeção é apenas a região do plano limitada pelas curvas y=x e y=x^{2}.\n
Determinamos os pontos de interseção resolvendo
x^{2}=x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x=0\quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0,
ou seja x=0 ou x=1. Para x entre 0 e 1 temos x^{2}\le x, então a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; x^{2}\le y\le x\}.
(Estou usando explicitamente as equações y=x e y=x^{2} dadas no enunciado para definir D.)

Passo 5

Calcule a área de D. Como D é um conjunto simples entre curvas, a área é
\text{Área}(D)=\int_{x=0}^{1}\bigl(\text{topo} - \text{base}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx.Á
Agora integramos passo a passo:
\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Subtraindo,
\text{Área}(D)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}.Á

Passo 6

Voltando à fórmula da área da superfície e usando que o integrando é a constante \sqrt{2}, obtemos
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{2}\;dA=\sqrt{2}\cdot\text{Área}(D)=\sqrt{2}\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{\sqrt{2}}{6}.ÁÁ
Interpretação final: a inclinação uniforme do cone fez com que o fator de correção fosse constante, por isso a área final é só \sqrt{2} vezes a área da projeção no plano xy.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}

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