Determine a área da superfície.
42.A parte do cone
que se encontra entre o plano
o cilindro
42.A parte do cone
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da superfície do cone dada por
que fica “entre” as duas superfícies verticais
(um plano vertical) e
(um cilindro vertical, pois a curva
é estendida para todo
).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A superfície é o cone
(somente a parte com ).\n - As duas curvas/ superfícies que limitam lateralmente a região sobre o cone são
e .\n - Preciso encontrar a área da porção do cone contida entre essas duas “paredes” verticais.\n
Observação: a região pedida é finita porque as curvase se interceptam em pontos que fecham uma região projetada no plano .
Passo 2
Vamos usar a estratégia de projeção: a área de uma superfície dada como gráfico
sobre uma região
do plano
é dada pela fórmula
Explicando essa fórmula de forma simples: para uma pequena parcela da região
de área
, a superfície está inclinada; o fator
corrige
para a área real nessa pequena peça da superfície (é como multiplicar pela “hipotenusa” gerada pela inclinação). Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
é o elemento de área no plano
.
Passo 3
No nosso caso
. Calculamos as derivadas parciais (vou mostrar passo a passo):\n
Analogamente,
Agora somamos os quadrados:
Portanto o fator sob a raiz fica
, e assim o integrando é a constante
. Ou seja
Isso simplifica muito a integral de área: a área da porção do cone é simplesmente
vezes a área da região de projeção
no plano
.
Passo 4
Precisamos agora descrever a região
, que é a projeção no plano
da porção do cone que fica entre
e
. Como as superfícies que limitam são verticais, a projeção é apenas a região do plano limitada pelas curvas
e
.\n
Determinamos os pontos de interseção resolvendo
Determinamos os pontos de interseção resolvendo
ou seja
ou
. Para
entre
e
temos
, então a região
é
(Estou usando explicitamente as equações
e
dadas no enunciado para definir
.)
Passo 5
Calcule a área de
. Como
é um conjunto simples entre curvas, a área é
Agora integramos passo a passo:
Subtraindo,
Passo 6
Voltando à fórmula da área da superfície e usando que o integrando é a constante
, obtemos
Interpretação final: a inclinação uniforme do cone fez com que o fator de correção fosse constante, por isso a área final é só
vezes a área da projeção no plano
.