Em um saco existem 4 dados, dos quais 2 são normais, um deles apresenta números pares em 75% das jogadas, e o último tem somente números pares. Escolhendo aleatoriamente um dos dados e jogando-o 2 vezes obtém-se 2 números pares. Qual é a chance de ter sido escolhido um dado normal?"

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a chance de que o dado escolhido seja um dado normal, dado que ao jogar o dado escolhido 2 vezes obteve-se 2 números pares.
Informações fornecidas (peguei todas do enunciado):
  • Existem 4 dados no saco.
  • Dois desses dados são normais (cada face de 1 a 6 com mesma probabilidade).
  • Um dado tem probabilidade de obter número par em cada jogada igual a 0,75.
  • Um dado tem somente números pares (probabilidade de par em cada jogada é 1).
  • Um dos 4 dados é escolhido aleatoriamente; o dado escolhido é jogado 2 vezes e o resultado foi: par na 1ª jogada e par na 2ª jogada.

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (aula rápida de probabilidade condicional / Teorema de Bayes).
  • Quando queremos a probabilidade de uma hipótese H (aqui: “o dado é normal”) dado um evento observado E (aqui: “dois pares”), usamos Bayes:
P(H\mid E)=\frac{P(H)\,P(E\mid H)}{P(E)}.
  • Aqui:
    • P(H) é a probabilidade a priori da hipótese (antes de ver os resultados).
    • P(E\mid H) é a probabilidade de observar o evento E supondo que H seja verdade (verosimilhança).
    • P(E) é a probabilidade total de observar E (obteremos somando as contribuições de todas as hipóteses possíveis).
  • Também usamos a regra do produto para eventos independentes: se duas jogadas são independentes dadas as características do dado, então a probabilidade de obter pares nas duas jogadas é o produto das probabilidades de par em cada jogada:
P(\text{par, par}\mid \text{tipo}) = P(\text{par}\mid \text{tipo}) \cdot P(\text{par}\mid \text{tipo}).

Passo 3

Definir as hipóteses e as probabilidades a priori.
  • Três tipos de dado distintos (com probabilidades iguais de serem escolhidos conforme o enunciado):
    • “Normal”: há 2 dados normais entre os 4, logo
    P(\text{Normal})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
    • “75% par”: há 1 dado com probabilidade 0,75 de par, logo
    P(\text{75\%})=\frac{1}{4}.
    • “Só pares”: há 1 dado que sempre dá par, logo
    P(\text{Só pares})=\frac{1}{4}.ó

Passo 4

Calcular as verosimilhanças P(E\mid \text{tipo}), onde E é “dois pares”.
  • Para um dado normal: a probabilidade de par numa jogada é \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}. Como as duas jogadas são independentes,
P(E\mid \text{Normal})=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}.
  • Para o dado com 0,75 de par:
P(E\mid \text{75\%})=(0,75)^2=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}=0,5625.
  • Para o dado que só tem pares:
P(E\mid \text{Só pares})=1^2=1.ó

Passo 5

Calcular P(E) pela lei da probabilidade total, somando as contribuições ponderadas:
P(E)=P(\text{Normal})P(E\mid \text{Normal})+P(\text{75\%})P(E\mid \text{75\%})+P(\text{Só pares})P(E\mid \text{Só pares}).óó
Substituindo os valores:
P(E)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{9}{16}+\frac{1}{4}\cdot 1.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}=\frac{8}{64}, \qquad \frac{1}{4}\cdot\frac{9}{16}=\frac{9}{64}, \qquad \frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}=\frac{16}{64}.
Somando:
P(E)=\frac{8}{64}+\frac{9}{64}+\frac{16}{64}=\frac{33}{64}\approx 0,515625.

Passo 6

Aplicar Bayes para obter a probabilidade procurada P(\text{Normal}\mid E):
P(\text{Normal}\mid E)=\frac{P(\text{Normal})\,P(E\mid \text{Normal})}{P(E)} =\frac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}}{\dfrac{33}{64}} =\frac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{33}{64}}.
Calcule a divisão:
\frac{1}{8}\div\frac{33}{64}=\frac{1}{8}\cdot\frac{64}{33}=\frac{8}{33}\approx 0,242424\ldots
Convertendo para porcentagem (aprox.):
0,242424\ldots \approx 24{,}24\%.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo:
  • A chance de o dado escolhido ter sido um dado normal, após observar dois pares, é relativamente baixa ( \approx24{,}2\%) porque os dados que favorecem pares (o de 75\% e o de só pares) aumentam a probabilidade de observar dois pares, deslocando a crença para esses dados.
  • Boa! Você conseguiu usar Bayes direitinho — é exatamente o tipo de raciocínio pedido em provas. Continue assim!

Resposta

\dfrac{8}{33} (aprox. 24{,}24\%)

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