Em um saco existem 4 dados, dos quais 2 são normais, um deles apresenta números pares em 75% das jogadas, e o último tem somente números pares. Escolhendo aleatoriamente um dos dados e jogando-o 2 vezes obtém-se 2 números pares. Qual é a chance de ter sido escolhido um dado normal?"
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar a chance de que o dado escolhido seja um dado normal, dado que ao jogar o dado escolhido 2 vezes obteve-se 2 números pares.
Informações fornecidas (peguei todas do enunciado):
- Existem 4 dados no saco.
- Dois desses dados são normais (cada face de
a com mesma probabilidade). - Um dado tem probabilidade de obter número par em cada jogada igual a
. - Um dado tem somente números pares (probabilidade de par em cada jogada é
). - Um dos 4 dados é escolhido aleatoriamente; o dado escolhido é jogado 2 vezes e o resultado foi: par na 1ª jogada e par na 2ª jogada.
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (aula rápida de probabilidade condicional / Teorema de Bayes).
- Quando queremos a probabilidade de uma hipótese
(aqui: “o dado é normal”) dado um evento observado (aqui: “dois pares”), usamos Bayes:
- Aqui:
-
é a probabilidade a priori da hipótese (antes de ver os resultados). -
é a probabilidade de observar o evento supondo que seja verdade (verosimilhança). -
é a probabilidade total de observar (obteremos somando as contribuições de todas as hipóteses possíveis).
-
- Também usamos a regra do produto para eventos independentes: se duas jogadas são independentes dadas as características do dado, então a probabilidade de obter pares nas duas jogadas é o produto das probabilidades de par em cada jogada:
Passo 3
Definir as hipóteses e as probabilidades a priori.
- Três tipos de dado distintos (com probabilidades iguais de serem escolhidos conforme o enunciado):
- “Normal”: há
dados normais entre os , logo
- “75% par”: há
dado com probabilidade de par, logo
- “Só pares”: há
dado que sempre dá par, logo
- “Normal”: há
Passo 4
Calcular as verosimilhanças
, onde
é “dois pares”.
- Para um dado normal: a probabilidade de par numa jogada é
. Como as duas jogadas são independentes,
- Para o dado com
de par:
- Para o dado que só tem pares:
Passo 5
Calcular
pela lei da probabilidade total, somando as contribuições ponderadas:
Substituindo os valores:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Passo 6
Aplicar Bayes para obter a probabilidade procurada
:
Calcule a divisão:
Convertendo para porcentagem (aprox.):
Passo 7
Interpretação curta e incentivo:
- A chance de o dado escolhido ter sido um dado normal, após observar dois pares, é relativamente baixa (
) porque os dados que favorecem pares (o de e o de só pares) aumentam a probabilidade de observar dois pares, deslocando a crença para esses dados. - Boa! Você conseguiu usar Bayes direitinho — é exatamente o tipo de raciocínio pedido em provas. Continue assim!