Quando tratamos de doenças sérias, muitos médicos pedem ao paciente que tenha apresentado diagnóstico positivo em determinado exame que o refaça em outro laboratório para confirmar tal resultado. Imaginando essa situação, crie hipoteticamente dois laboratórios: o laboratório A, que dá resultado positivo para 80 \% dos portadores da doença e resultado positivo para 10 \% dos sãos. O laboratório B dá resultado positivo para 70 \% dos portadores da doença e resultado positivo para 5 \% dos sãos. Imaginando que a chance de um indivíduo qualquer ter essa doença é de 15 \% e que os resultados dos laboratórios são independentes tanto para indivíduos doentes como para indivíduos sãos:
a) Qual é a chance de um indivíduo qualquer obter resultado positivo pelos dois laboratórios?
b) Se um indivíduo enfermo fizer teste em somente um laboratório (considere que a chance de ser o laboratório A é igual a chance de ser o B ), q ual é a chance de obter resultado negativo?
c) Qual é a chance de um indivíduo enfermo ter sua doença detectada se fizer os testes nos dois laboratórios?
d) Aqui a pergunta provável poderia ser: Se 2 doentes fizerem os testes nos 2 laboratórios, qual seria a chance de a doença ser detectada em pelo menos um dos 4 exames?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado e da imagem fornecida).
  • Probabilidade de um indivíduo ter a doença: P(D)=0,15. Logo a probabilidade de ser são: P(\text{saudável})=0,85á.
  • Laboratório A:
    • Sensibilidade (probabilidade de dar positivo se o indivíduo estiver doente): P(A^+ \mid D)=0,80.
    • Taxa de falso positivo (probabilidade de dar positivo se o indivíduo for saudável): P(A^+ \mid \text{saudável})=0,10á.
  • Laboratório B:
    • Sensibilidade: P(B^+ \mid D)=0,70.
    • Taxa de falso positivo: P(B^+ \mid \text{saudável})=0,05á.
  • O enunciado diz que os resultados dos dois laboratórios são independentes tanto para indivíduos doentes como para indivíduos sãos.
  • O que é pedido:
    (a) Probabilidade de um indivíduo qualquer obter resultado positivo em ambos os laboratórios (ou seja, A^+ e B^+ simultaneamente).
    (b) Se um indivíduo enfermo fizer o teste em apenas um laboratório escolhido aleatoriamente com probabilidade igual para A e B, qual a probabilidade de obter resultado negativo?
    (c) Para um indivíduo enfermo que faz os dois testes (A e B), qual a probabilidade de sua doença ser detectada (ou seja, pelo menos um teste positivo)?
    (d) Se dois indivíduos doentes fizerem os testes nos dois laboratórios (cada um faz A e B, totalizando 4 exames), qual a chance de a doença ser detectada em pelo menos um dos 4 exames?

Passo 2

Breve aulinha de conceitos (para usar nas contas):
  • Evento complementar e probabilidades: se E é um evento, P(E^c)=1-P(E).
  • Independência: se dois eventos X e Y são independentes, então P(X\\ \text{e}\\ Y)=P(X)\cdot P(Y). Aqui nos foi dito que os resultados nos laboratórios são independentes tanto condicionando em D quanto em \text{saudável}á. Assim, por exemplo:
    • Para um doente: P(A^+\\ \text{e}\\ B^+ \mid D)=P(A^+\mid D)\cdot P(B^+\mid D).
    • Para um saudável: P(A^+\\ \text{e}\\ B^+ \mid \text{saudável})=P(A^+\mid \text{saudável})\cdot P(B^+\mid \text{saudável})ááá.
  • Regra da probabilidade total: para um evento E em população mista com duas possibilidades disjuntas D e \text{saudável}á, P(E)=P(D)\,P(E\mid D)+P(\text{saudável})\,P(E\mid \text{saudável}).ááUsaremos isso na letra (a).
  • Probabilidade de “pelo menos um positivo” entre vários testes independentes = 1 menos a probabilidade de “todos negativos”. Para um teste que dá positivo com probabilidade p, dá negativo com probabilidade 1-p.

Passo 3

Resolvendo (a): probabilidade de um indivíduo qualquer obter resultado positivo em ambos os laboratórios, isto é P(A^+\\ \text{e}\\ B^+).
Usamos a regra da probabilidade total dividindo entre doente e saudável:
P(A^+\\ \text{e}\\ B^+)=P(D)\,P(A^+\\ \text{e}\\ B^+\mid D)+P(\text{saudável})\,P(A^+\\ \text{e}\\ B^+\mid \text{saudável}).áá
Pela independência condicional:
P(A^+\\ \text{e}\\ B^+\mid D)=P(A^+\mid D)\,P(B^+\mid D)=0,80\times 0,70=0,56.
P(A^+\\ \text{e}\\ B^+\mid \text{saudável})=P(A^+\mid \text{saudável})\,P(B^+\mid \text{saudável})=0,10\times 0,05=0,005.ááá
Agora colocamos na fórmula total:
P(A^+\\ \text{e}\\ B^+)=0,15\times 0,56 + 0,85\times 0,005.
Calcule passo a passo:
0,15\times 0,56=0,084,
0,85\times 0,005=0,00425,
0,084+0,00425=0,08825.
Portanto a probabilidade é 0,08825, ou em porcentagem 8,825\%.

Passo 4

Resolvendo (b): um indivíduo enfermo faz o teste em apenas um laboratório, com probabilidade igual de ser escolhido A ou B. Queremos a probabilidade de obter resultado negativo (falso negativo).
Para um doente:
  • Probabilidade de negativo em A: P(A^-\mid D)=1-P(A^+\mid D)=1-0,80=0,20.
  • Probabilidade de negativo em B: P(B^-\mid D)=1-P(B^+\mid D)=1-0,70=0,30.
Como o laboratório é escolhido com probabilidade 1/2 para cada um, a probabilidade total de negativo é
P(\text{negativo})=\tfrac{1}{2}\,P(A^-\mid D)+\tfrac{1}{2}\,P(B^-\mid D)=\tfrac{1}{2}\times 0,20 + \tfrac{1}{2}\times 0,30.
Calcule:
\tfrac{1}{2}\times 0,20=0,10,\qquad \tfrac{1}{2}\times 0,30=0,15,
0,10+0,15=0,25.
Logo a chance de obter resultado negativo é 0,25 ou 25\%.

Passo 5

Resolvendo (c): probabilidade de um indivíduo enfermo ter sua doença detectada se fizer os testes nos dois laboratórios (A e B).
“Detectada” = pelo menos um dos dois exames é positivo. Pela regra do complemento:
P(\text{detectado}\mid D)=1-P(\text{ambos negativos}\mid D).
Como os resultados são independentes condicionalmente em D,
P(\text{ambos negativos}\mid D)=P(A^-\mid D)\,P(B^-\mid D)=0,20\times 0,30=0,06.
Portanto
P(\text{detectado}\mid D)=1-0,06=0,94.
A chance é 0,94 ou 94\%.

Passo 6

Resolvendo (d): dois doentes fazem os testes nos dois laboratórios (cada doente faz A e B), totalizando 4 exames. Queremos a probabilidade de que a doença seja detectada em pelo menos um dos 4 exames.
É mais fácil calcular o complementar: probabilidade de que TODOS os 4 exames deem negativo (isto é, nenhum exame positivo), e subtrair de 1.
Para um doente, a probabilidade de que ambos os seus exames (A e B) sejam negativos é 0,20\times 0,30=0,06 (vimos isso no passo anterior). Como os dois doentes são independentes entre si (e os resultados nos diferentes indivíduos são independentes), a probabilidade de que os quatro exames (os dois de cada doente) sejam todos negativos é
(0,06)^2=0,0036.
Logo a probabilidade de que haja pelo menos um exame positivo entre os quatro é
1-0,0036=0,9964.
Isto é 0,9964 ou 99,64\%.

Resposta

(a) 0,08825 (ou 8,825\%).
(b) 0,25 (ou 25\%).
(c) 0,94 (ou 94\%).
(d) 0,9964 (ou 99,64\%).

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