Quando tratamos de doenças sérias, muitos médicos pedem ao paciente que tenha apresentado diagnóstico positivo em determinado exame que o refaça em outro laboratório para confirmar tal resultado. Imaginando essa situação, crie hipoteticamente dois laboratórios: o laboratório A, que dá resultado positivo para
dos portadores da doença e resultado positivo para
dos sãos. O laboratório B dá resultado positivo para
dos portadores da doença e resultado positivo para
dos sãos. Imaginando que a chance de um indivíduo qualquer ter essa doença é de
e que os resultados dos laboratórios são independentes tanto para indivíduos doentes como para indivíduos sãos:
a) Qual é a chance de um indivíduo qualquer obter resultado positivo pelos dois laboratórios?
b) Se um indivíduo enfermo fizer teste em somente um laboratório (considere que a chance de ser o laboratório
é igual a chance de ser o
), q ual é a chance de obter resultado negativo?
c) Qual é a chance de um indivíduo enfermo ter sua doença detectada se fizer os testes nos dois laboratórios?
d) Aqui a pergunta provável poderia ser: Se 2 doentes fizerem os testes nos 2 laboratórios, qual seria a chance de a doença ser detectada em pelo menos um dos 4 exames?
a) Qual é a chance de um indivíduo qualquer obter resultado positivo pelos dois laboratórios?
b) Se um indivíduo enfermo fizer teste em somente um laboratório (considere que a chance de ser o laboratório
c) Qual é a chance de um indivíduo enfermo ter sua doença detectada se fizer os testes nos dois laboratórios?
d) Aqui a pergunta provável poderia ser: Se 2 doentes fizerem os testes nos 2 laboratórios, qual seria a chance de a doença ser detectada em pelo menos um dos 4 exames?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado e da imagem fornecida).
- Probabilidade de um indivíduo ter a doença:
. Logo a probabilidade de ser são: . - Laboratório A:
- Sensibilidade (probabilidade de dar positivo se o indivíduo estiver doente):
. - Taxa de falso positivo (probabilidade de dar positivo se o indivíduo for saudável):
.
- Sensibilidade (probabilidade de dar positivo se o indivíduo estiver doente):
- Laboratório B:
- Sensibilidade:
. - Taxa de falso positivo:
.
- Sensibilidade:
- O enunciado diz que os resultados dos dois laboratórios são independentes tanto para indivíduos doentes como para indivíduos sãos.
- O que é pedido:
(a) Probabilidade de um indivíduo qualquer obter resultado positivo em ambos os laboratórios (ou seja,e simultaneamente).
(b) Se um indivíduo enfermo fizer o teste em apenas um laboratório escolhido aleatoriamente com probabilidade igual parae , qual a probabilidade de obter resultado negativo?
(c) Para um indivíduo enfermo que faz os dois testes (A e B), qual a probabilidade de sua doença ser detectada (ou seja, pelo menos um teste positivo)?
(d) Se dois indivíduos doentes fizerem os testes nos dois laboratórios (cada um faz A e B, totalizando 4 exames), qual a chance de a doença ser detectada em pelo menos um dos 4 exames?
Passo 2
Breve aulinha de conceitos (para usar nas contas):
- Evento complementar e probabilidades: se
é um evento, . - Independência: se dois eventos
e são independentes, então . Aqui nos foi dito que os resultados nos laboratórios são independentes tanto condicionando em quanto em . Assim, por exemplo: - Para um doente:
. - Para um saudável:
.
- Para um doente:
- Regra da probabilidade total: para um evento
em população mista com duas possibilidades disjuntas e , Usaremos isso na letra (a). - Probabilidade de “pelo menos um positivo” entre vários testes independentes =
menos a probabilidade de “todos negativos”. Para um teste que dá positivo com probabilidade , dá negativo com probabilidade .
Passo 3
Resolvendo (a): probabilidade de um indivíduo qualquer obter resultado positivo em ambos os laboratórios, isto é
.
Usamos a regra da probabilidade total dividindo entre doente e saudável:
Pela independência condicional:
Agora colocamos na fórmula total:
Calcule passo a passo:
Portanto a probabilidade é
, ou em porcentagem
.
Passo 4
Resolvendo (b): um indivíduo enfermo faz o teste em apenas um laboratório, com probabilidade igual de ser escolhido
ou
. Queremos a probabilidade de obter resultado negativo (falso negativo).
Para um doente:
- Probabilidade de negativo em
: . - Probabilidade de negativo em
: .
Como o laboratório é escolhido com probabilidade
para cada um, a probabilidade total de negativo é
Calcule:
Logo a chance de obter resultado negativo é
ou
.
Passo 5
Resolvendo (c): probabilidade de um indivíduo enfermo ter sua doença detectada se fizer os testes nos dois laboratórios (A e B).
“Detectada” = pelo menos um dos dois exames é positivo. Pela regra do complemento:
Como os resultados são independentes condicionalmente em
,
Portanto
A chance é
ou
.
Passo 6
Resolvendo (d): dois doentes fazem os testes nos dois laboratórios (cada doente faz A e B), totalizando 4 exames. Queremos a probabilidade de que a doença seja detectada em pelo menos um dos 4 exames.
É mais fácil calcular o complementar: probabilidade de que TODOS os 4 exames deem negativo (isto é, nenhum exame positivo), e subtrair de 1.
Para um doente, a probabilidade de que ambos os seus exames (A e B) sejam negativos é
(vimos isso no passo anterior). Como os dois doentes são independentes entre si (e os resultados nos diferentes indivíduos são independentes), a probabilidade de que os quatro exames (os dois de cada doente) sejam todos negativos é
Logo a probabilidade de que haja pelo menos um exame positivo entre os quatro é
Isto é
ou
.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) (ou
).
(c) (ou
).
(d) (ou
).
(b)
(c)
(d)