Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Existem 12 alunas no total, e uma delas é a Carla.
  • Existem 8 alunos no total, e um deles é o Luiz.
  • Queremos formar comissões compostas por 5 alunas e 4 alunos.
  • Pergunta: determinar o número de comissões nas quais simultaneamente participam a Carla e o Luiz.

Passo 2

Ideia geral (explicada como se fosse na prova): exigir que Carla e Luiz participem significa que eles já estão “selecionados” para a comissão. Então restará escolher os outros membros entre os estudantes restantes. As escolhas de alunas e de alunos são independentes, então o número total será o produto do número de maneiras de completar as alunas pelo número de maneiras de completar os alunos.
Antes de calcular, vamos lembrar a fórmula de combinação que usamos para “escolher sem ordem”:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde:
  • n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n\times(n-1)\times\cdots\times1,
  • \binom{n}{k} é o número de formas de escolher k elementos de um conjunto de n elementos sem considerar ordem.
Também vou usar o princípio multiplicativo (regra do produto): se há A maneiras de fazer a primeira escolha e B maneiras independentes de fazer a segunda, então há A\cdot B maneiras de fazer as duas escolhas juntas.

Passo 3

Tratar as alunas: como a Carla já está na comissão, falta escolher mais 5-1=4 alunas dentre as restantes 12-1=11 alunas. O número de formas de fazer isso é
\binom{11}{4}=\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Vamos simplificar passo a passo:
  • Calcular o numerador: 11\cdot10\cdot9\cdot8 = 7920.
  • Calcular o denominador: 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
  • Dividir: \dfrac{7920}{24}=330.
Portanto o número de maneiras de escolher as alunas (com Carla já fixa) é \binom{11}{4}=330.

Passo 4

Tratar os alunos: como o Luiz já está na comissão, falta escolher mais 4-1=3 alunos dentre os restantes 8-1=7 alunos. O número de formas é
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}.
Calculemos:
  • Numerador: 7\cdot6\cdot5=210.
  • Denominador: 3\cdot2\cdot1=6.
  • Divisão: \dfrac{210}{6}=35.
Logo \binom{7}{3}=35.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto: as escolhas de alunas e alunos são independentes, então o número total de comissões com Carla e Luiz é
\binom{11}{4}\cdot\binom{7}{3}=330\cdot35.
Fazendo a multiplicação:
  • 330\cdot30=9900,
  • 330\cdot5=1650,
  • somando: 9900+1650=11550.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: sempre que um elemento específico precisa estar na seleção, reduza o problema escolhendo os restantes a partir do total sem esse elemento. Use combinações quando a ordem não importa e multiplique quando tiver escolhas independentes de grupos distintos.

Resposta

11550

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