Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Existem
alunas no total, e uma delas é a Carla. - Existem
alunos no total, e um deles é o Luiz. - Queremos formar comissões compostas por
alunas e alunos. - Pergunta: determinar o número de comissões nas quais simultaneamente participam a Carla e o Luiz.
Passo 2
Ideia geral (explicada como se fosse na prova): exigir que Carla e Luiz participem significa que eles já estão “selecionados” para a comissão. Então restará escolher os outros membros entre os estudantes restantes. As escolhas de alunas e de alunos são independentes, então o número total será o produto do número de maneiras de completar as alunas pelo número de maneiras de completar os alunos.
Antes de calcular, vamos lembrar a fórmula de combinação que usamos para “escolher sem ordem”:
onde:
-
(lê-se “n fatorial”) é o produto , -
é o número de formas de escolher elementos de um conjunto de elementos sem considerar ordem.
Também vou usar o princípio multiplicativo (regra do produto): se há
maneiras de fazer a primeira escolha e
maneiras independentes de fazer a segunda, então há
maneiras de fazer as duas escolhas juntas.
Passo 3
Tratar as alunas: como a Carla já está na comissão, falta escolher mais
alunas dentre as restantes
alunas. O número de formas de fazer isso é
Vamos simplificar passo a passo:
- Calcular o numerador:
. - Calcular o denominador:
. - Dividir:
.
Portanto o número de maneiras de escolher as alunas (com Carla já fixa) é
.
Passo 4
Tratar os alunos: como o Luiz já está na comissão, falta escolher mais
alunos dentre os restantes
alunos. O número de formas é
Calculemos:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Divisão:
.
Logo
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto: as escolhas de alunas e alunos são independentes, então o número total de comissões com Carla e Luiz é
Fazendo a multiplicação:
-
, -
, - somando:
.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova: sempre que um elemento específico precisa estar na seleção, reduza o problema escolhendo os restantes a partir do total sem esse elemento. Use combinações quando a ordem não importa e multiplique quando tiver escolhas independentes de grupos distintos.