Em uma sala de aula possui 15 alunos, e um determinado professor deseja escalar 6 alunos dessa turma para realizar uma apresentação científica. De quantas maneiras esse professor poderá montar esse grupo de 6 alunos.
a) 8.502 maneiras.
b) 5.005 maneiras
c) 6.208 maneiras
d) 4.810 maneiras.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 15 alunos na sala.
  • O professor quer escolher um grupo de 6 alunos para apresentar.
    O que se pede:
  • Determinar de quantas maneiras diferentes é possível formar esse grupo de 6 alunos a partir dos 15.

Passo 2

Entendendo a ideia (com calma e sem pressa): quando a ordem dos escolhidos não importa (um grupo em que ninguém tem posição fixa), o número de maneiras de escolher k elementos entre n é dado pelo coeficiente binomial, chamado também de combinação. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot2\cdot1. Exemplinho rápido para fixar: \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=\dfrac{24}{2\cdot2}=6 — são as seis duplas possíveis de 4 elementos.

Passo 3

Aplicando ao problema: aqui n=15 e k=6. Então
\binom{15}{6}=\frac{15!}{6!\,9!}.
Uma maneira prática de calcular é usar a forma reduzida do fatorial, cancelando 9! em cima e embaixo:
\binom{15}{6}=\frac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.

Passo 4

Para calcular sem calculadora, é eficiente cancelar fatores comuns entre numerador e denominador. Vamos fatorar e cancelar usando primos ou observar as potências:
  • Numerador (fatores primos agrupados): 15=3\cdot5, 14=2\cdot7, 13 é primo, 12=2^2\cdot3, 11 primo, 10=2\cdot5.
  • Denominador 6!=720 tem fatoração 2^4\cdot3^2\cdot5.
Ao comparar as potências, nota-se que no numerador há 2^4, 3^2 e 5^2, enquanto o denominador tem 2^4, 3^2, 5^1. Cancelando tudo que é comum, sobra no numerador:
5^{2-1}\cdot7\cdot11\cdot13 =5\cdot7\cdot11\cdot13.

Passo 5

Agora calcular passo a passo essa multiplicação (fácil de fazer à mão):
5\cdot7=35,
35\cdot11=385,
385\cdot13=385\cdot(10+3)=3850+1155=5005.
Portanto
\binom{15}{6}=5005.

Passo 6

Interpretação final: existem 5005 maneiras diferentes de escolher um grupo de 6 alunos entre 15. Entre as alternativas dadas isso corresponde à letra b).

Resposta

b) 5005 maneiras.

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