Em uma sala de aula possui 15 alunos, e um determinado professor deseja escalar 6 alunos dessa turma para realizar uma apresentação científica. De quantas maneiras esse professor poderá montar esse grupo de 6 alunos.
a) 8.502 maneiras.
b) 5.005 maneiras
c) 6.208 maneiras
d) 4.810 maneiras.
a) 8.502 maneiras.
b) 5.005 maneiras
c) 6.208 maneiras
d) 4.810 maneiras.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
alunos na sala. - O professor quer escolher um grupo de
alunos para apresentar.
O que se pede: - Determinar de quantas maneiras diferentes é possível formar esse grupo de
alunos a partir dos .
Passo 2
Entendendo a ideia (com calma e sem pressa): quando a ordem dos escolhidos não importa (um grupo em que ninguém tem posição fixa), o número de maneiras de escolher
elementos entre
é dado pelo coeficiente binomial, chamado também de combinação. A fórmula é
onde
(fatorial de
) significa
. Exemplinho rápido para fixar:
— são as seis duplas possíveis de
elementos.
Passo 3
Aplicando ao problema: aqui
e
. Então
Uma maneira prática de calcular é usar a forma reduzida do fatorial, cancelando
em cima e embaixo:
Passo 4
Para calcular sem calculadora, é eficiente cancelar fatores comuns entre numerador e denominador. Vamos fatorar e cancelar usando primos ou observar as potências:
- Numerador (fatores primos agrupados):
, , é primo, , primo, . - Denominador
tem fatoração .
Ao comparar as potências, nota-se que no numerador há
,
e
, enquanto o denominador tem
,
,
. Cancelando tudo que é comum, sobra no numerador:
Passo 5
Agora calcular passo a passo essa multiplicação (fácil de fazer à mão):
Portanto
Passo 6
Interpretação final: existem
maneiras diferentes de escolher um grupo de
alunos entre
. Entre as alternativas dadas isso corresponde à letra b).
Resposta
b)
maneiras.