Em uma sala de
, opera um equipamento do qual escapa considerável quantidade de amônia. Pelo consumo de amônia, chegou-se à conclusão de que a vaporização da mesma no ambiente é da ordem de
. O sistema de ventilação da sala insufla (e retira)
de ar. Após quanto tempo as condições do ambiente se tornariam insalubres?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
- Dimensões da sala:
. - Taxa de vaporização (emissão) de amônia:
. - Vazão de ventilação (insufla e retira):
. - Pergunta: após quanto tempo as condições do ambiente se tornariam insalubres?
Passo 2
Vamos traduzir fisicamente o problema e definir variáveis (passo importante para você aplicar o raciocínio rápido na prova):
- Seja
o volume da sala, em . - Seja
a taxa de emissão de amônia (volume de vapor de amônia por unidade de tempo), em . Aqui . - Seja
a vazão de ventilação (ar entrando e saindo), em . Aqui . - Seja
a concentração volumétrica de amônia no ar da sala no instante , medida em fração volumétrica (ou seja, de amônia por de ar). Note: para converter fração volumétrica em ppm (partes por milhão) multiplicamos por .
A primeira coisa a fazer é calcular o volume da sala:
Passo 3
Montando o balanço de massa (é o modelo clássico de sala bem misturada):
- Taxa de variação do volume de amônia dentro da sala = taxa de geração interna
menos a taxa de saída pela ventilação .
Escrevendo isso:
Como
é constante, isso vira
Dividindo por
:
Essa é uma equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficiente
.
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial (vou mostrar passo a passo para você decorar o método):
Equação:
Equação:
Para condição inicial assumimos
(antes da vaporização, não havia amônia relevante).
Solução particular constante é (substitua
e resolve).
Solução geral com decaimento exponencial (fórmula padrão) é:
Solução particular constante é
Solução geral com decaimento exponencial (fórmula padrão) é:
Ou explicitamente:
Interpretação física: a concentração cresce exponencialmente a partir de zero e tende assintoticamente ao valor estacionário
.
Passo 5
Calculemos o valor de estado estacionário e converta para ppm (para termos uma referência prática):
- Primeiro
:
- Em ppm (multiplicar por
):
Ou seja, se deixarmos o processo atuar por tempo longo, a concentração tende para cerca de
.
Passo 6
Precisamos decidir qual concentração representa “insalubre”. Muitos textos e normas consideram níveis de amônia da ordem de algumas centenas de ppm como perigosos; um valor frequentemente usado como referência prática em exercícios é
. Portanto, adotaremos como limite insalubre
(em fração volumétrica). Agora vamos achar o tempo
tal que
.
Passo 7
Igualando
ao limite e resolvendo para
:
Isolando a exponencial:
Substituindo números: já temos
e
, então
Tomando logaritmo natural:
Logo
Passo 8
Calcule os termos numéricos finais:
- Primeiro
. -
.
Portanto
Convertendo para minutos:
Passo 9
Interpretação final e dica para prova:
- Em cerca de
minutos a concentração atinge , ou seja, fica em nível insalubre (seguindo a referência adotada). - Dica prática: memorize o modelo
e que o estado estacionário é . Em provas, transforme sempre para ppm se o enunciado fala de “insalubre” em ppm.