Em uma sala de 6 \mathrm{~m} \times 4 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m}, opera um equipamento do qual escapa considerável quantidade de amônia. Pelo consumo de amônia, chegou-se à conclusão de que a vaporização da mesma no ambiente é da ordem de 0,25 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. O sistema de ventilação da sala insufla (e retira) 800 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de ar. Após quanto tempo as condições do ambiente se tornariam insalubres?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Dimensões da sala: 6\\ \mathrm{m}\times 4\\ \mathrm{m}\times 3\\ \mathrm{m}.
  • Taxa de vaporização (emissão) de amônia: 0,25\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Vazão de ventilação (insufla e retira): 800\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Pergunta: após quanto tempo as condições do ambiente se tornariam insalubres?

Passo 2

Vamos traduzir fisicamente o problema e definir variáveis (passo importante para você aplicar o raciocínio rápido na prova):
  • Seja V o volume da sala, em \mathrm{m}^{3}.
  • Seja G a taxa de emissão de amônia (volume de vapor de amônia por unidade de tempo), em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}. Aqui G=0,25\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Seja Q a vazão de ventilação (ar entrando e saindo), em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}. Aqui Q=800\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}.
  • Seja C(t) a concentração volumétrica de amônia no ar da sala no instante t, medida em fração volumétrica (ou seja, \mathrm{m}^{3} de amônia por \mathrm{m}^{3} de ar). Note: para converter fração volumétrica em ppm (partes por milhão) multiplicamos por 10^{6}.
A primeira coisa a fazer é calcular o volume da sala:
V = 6\cdot 4\cdot 3 = 72\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Montando o balanço de massa (é o modelo clássico de sala bem misturada):
  • Taxa de variação do volume de amônia dentro da sala = taxa de geração interna G menos a taxa de saída pela ventilação Q\cdot C(t).
    Escrevendo isso:
\frac{d}{dt}\bigl(V\cdot C(t)\bigr) = G - Q\cdot C(t).
Como V é constante, isso vira
V\,\frac{dC}{dt} = G - Q\,C(t).
Dividindo por V:
\frac{dC}{dt} = \frac{G}{V} - \frac{Q}{V}\,C(t).
Essa é uma equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficiente \lambda=\dfrac{Q}{V}.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial (vou mostrar passo a passo para você decorar o método):
Equação:
\frac{dC}{dt} + \frac{Q}{V}C = \frac{G}{V}.
Para condição inicial assumimos C(0)=0 (antes da vaporização, não havia amônia relevante).
Solução particular constante é C_{\infty}=\dfrac{G}{Q} (substitua dC/dt=0 e resolve).
Solução geral com decaimento exponencial (fórmula padrão) é:
C(t) = C_{\infty}\left(1 - e^{-\,\frac{Q}{V}t}\right).
Ou explicitamente:
C(t) = \frac{G}{Q}\left(1 - e^{-\,\frac{Q}{V}t}\right).
Interpretação física: a concentração cresce exponencialmente a partir de zero e tende assintoticamente ao valor estacionário G/Q.

Passo 5

Calculemos o valor de estado estacionário e converta para ppm (para termos uma referência prática):
  • Primeiro G/Q:
\frac{G}{Q}=\frac{0,25}{800}=0,0003125.
  • Em ppm (multiplicar por 10^{6}):
0,0003125\times 10^{6}=312{,}5\\ \text{ppm}.
Ou seja, se deixarmos o processo atuar por tempo longo, a concentração tende para cerca de 312{,}5\\ \text{ppm}.

Passo 6

Precisamos decidir qual concentração representa “insalubre”. Muitos textos e normas consideram níveis de amônia da ordem de algumas centenas de ppm como perigosos; um valor frequentemente usado como referência prática em exercícios é 300\\ \text{ppm}. Portanto, adotaremos como limite insalubre
C_{\text{limite}}=300\\ \text{ppm}=300\times 10^{-6}=0,0003
(em fração volumétrica). Agora vamos achar o tempo t tal que C(t)=C_{\text{limite}}.

Passo 7

Igualando C(t) ao limite e resolvendo para t:
\frac{G}{Q}\left(1 - e^{-\,\frac{Q}{V}t}\right)=C_{\text{limite}}.
Isolando a exponencial:
1 - e^{-\,\frac{Q}{V}t}=\frac{C_{\text{limite}}}{G/Q},
e^{-\,\frac{Q}{V}t}=1-\frac{C_{\text{limite}}}{G/Q}.
Substituindo números: já temos \dfrac{G}{Q}=0,0003125 e C_{\text{limite}}=0,0003, então
e^{-\,\frac{Q}{V}t}=1-\frac{0,0003}{0,0003125}=1-0,96=0,04.
Tomando logaritmo natural:
-\,\frac{Q}{V}t=\ln(0,04).
Logo
t=-\frac{V}{Q}\ln(0,04).

Passo 8

Calcule os termos numéricos finais:
  • Primeiro \dfrac{V}{Q}=\dfrac{72}{800}=0{,}09\\ \mathrm{h}.
  • \ln(0,04)=\ln\!\bigl(4\times 10^{-2}\bigr)\approx -3{,}218876.
    Portanto
t = 0{,}09\times 3{,}218876 \approx 0{,}289699\\ \mathrm{h}.
Convertendo para minutos:
0{,}289699\\ \mathrm{h}\times 60\\ \frac{\mathrm{min}}{\mathrm{h}}\approx 17{,}38\\ \mathrm{min}.

Passo 9

Interpretação final e dica para prova:
  • Em cerca de 17 minutos a concentração atinge 300\\ \text{ppm}, ou seja, fica em nível insalubre (seguindo a referência adotada).
  • Dica prática: memorize o modelo C(t)=\dfrac{G}{Q}\bigl(1-e^{-Qt/V}\bigr) e que o estado estacionário é G/Q. Em provas, transforme sempre para ppm se o enunciado fala de “insalubre” em ppm.

Resposta

t\approx 0{,}29\\ \mathrm{h}\approx 17{,}4\\ \mathrm{min}

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