Num recinto de 600 \mathrm{~m}^{3} existe uma concentração de benzeno igual a 4 partes por 10.000 partes de ar e são vaporizados 0,18 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Se ligarmos o equipamento de exaustão, que fornece 1.000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de ar, após quanto tempo a concentração atingirá o índice aceitável de 2 partes por 10.000 ?

Passo 1

O que o problema pede: determinar após quanto tempo a concentração de benzeno cairá de 4 partes por 10.000 para 2 partes por 10.000 num recinto onde há geração contínua de benzeno e exaustão de ar.
Dados fornecidos (todos escritos em TeX):
\text{Volume do recinto } V = 600\\ \mathrm{m}^3
\text{Concentração inicial } C(0)=4\\ \text{partes por }10.000çã
\text{Taxa de vaporização (geração) } G = 0{,}18\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}çãçã
\text{Vazão de exaustão (ventilação)} Q = 1000\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}ããçã
\text{Concentração alvo } C_{\text{alvo}}=2\\ \text{partes por }10.000çã
Observação importante: vou modelar o recinto como perfeitamente misturado (concentração homogênea no volume) — isso é padrão nesses problemas e permite usar um balanço simples entre geração e remoção.

Passo 2

Converter a geração G em aumento de concentração por hora (na mesma unidade partes por 10.000 por hora).
Raciocínio: se entram 0{,}18\\ \mathrm{m}^3 de vapor de benzeno por hora num volume total de 600\\ \mathrm{m}^3, a fração volumétrica adicionada por hora é
\frac{0{,}18}{600}=0{,}0003=3\times10^{-4}.
Para converter essa fração em "partes por 10.000", multiplica-se por 10.000:
g = 3\times10^{-4}\times10.000 = 3.
Portanto a geração corresponde a um acréscimo de 3 partes por 10.000 por hora. Vou chamar essa taxa de geração (em unidades compatíveis com C) de g=3\\ \text{(partes/10.000)/h}.

Passo 3

Determinar a taxa de renovação do ar (coeficiente de remoção) causada pela ventilação.
Com mistura perfeita, a remoção é proporcional à concentração atual; o coeficiente é
k=\frac{Q}{V}=\frac{1000}{600}=\frac{5}{3}\\ \mathrm{h}^{-1}\approx1{,}6667\\ \mathrm{h}^{-1}.
Interpretação: numa hora, uma fração k do conteúdo do recinto é renovada (e, por consequência, a concentração é reduzida proporcionalmente).

Passo 4

Montar o balanço de massa (equação diferencial) para a concentração C(t) em partes por 10.000.
Termos:
  • entrada/geração: taxa constante g=3.
  • remoção por ventilação: proporcional a C(t) com taxa k.
Logo a equação é
\frac{dC}{dt}=g-k\,C.
Condição inicial: C(0)=4.

Passo 5

Resolver a equação diferencial linear \dfrac{dC}{dt}+kC=g.
Esta é uma EDO linear de primeira ordem com solução de regime permanente (estado estacionário) e termo transiente exponencial. A solução geral pode ser escrita como
C(t)=C_\infty +\bigl(C(0)-C_\infty\bigr)e^{-k t},
onde C_\infty é o valor em regime permanente obtido impondo \dfrac{dC}{dt}=0:
C_\infty=\frac{g}{k}.

Passo 6

Calcular C_\infty e obter a solução particular com a condição inicial.
Já temos g=3 e k=\dfrac{5}{3}. Então
C_\infty=\frac{g}{k}=\frac{3}{5/3}=3\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{5}=1{,}8.
Aplicando C(0)=4 na fórmula da solução:
C(t)=1{,}8+(4-1{,}8)e^{-(5/3)t}=1{,}8+2{,}2\;e^{-(5/3)t}.

Passo 7

Determinar o tempo t tal que C(t)=2.
Partimos de
2=1{,}8+2{,}2\;e^{-(5/3)t}.
Isolando o exponencial:
2-1{,}8=2{,}2\;e^{-(5/3)t}\quad\Rightarrow\quad 0{,}2=2{,}2\;e^{-(5/3)t}.
Dividindo:
e^{-(5/3)t}=\frac{0{,}2}{2{,}2}=\frac{1}{11}.
Tomando logaritmo natural:
-\frac{5}{3}t=\ln\!\left(\frac{1}{11}\right)=-\ln(11).
Portanto
t=\frac{3}{5}\ln(11).

Passo 8

Calcular numericamente t e converter em horas, minutos e segundos.
Valor numérico:
\ln(11)\approx2{,}397895273,
então
t=\frac{3}{5}\cdot2{,}397895273\approx1{,}438737164\\ \mathrm{h}.
Converter para horas, minutos e segundos:
1{,}438737164\\ \mathrm{h}=1\\ \mathrm{h}+0{,}438737164\\ \mathrm{h}.
0{,}438737164\\ \mathrm{h}\times60\approx26{,}32422984\\ \mathrm{min}.
0{,}32422984\\ \mathrm{min}\times60\approx19{,}45379\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma razoável: t\approx1\\ \mathrm{h}\\\ 26\\ \mathrm{min}\\\ 19\\ \mathrm{s}.

Resposta

t=\dfrac{3}{5}\ln(11)\\ \mathrm{h}\approx1{,}4387\\ \mathrm{h}\approx1\\ \mathrm{h}\\\ 26\\ \mathrm{min}\\\ 19\\ \mathrm{s}

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