Num recinto de
existe uma concentração de benzeno igual a 4 partes por 10.000 partes de ar e são vaporizados
. Se ligarmos o equipamento de exaustão, que fornece
de ar, após quanto tempo a concentração atingirá o índice aceitável de 2 partes por 10.000 ?
Passo 1
O que o problema pede: determinar após quanto tempo a concentração de benzeno cairá de
partes por
para
partes por
num recinto onde há geração contínua de benzeno e exaustão de ar.
Dados fornecidos (todos escritos em TeX):
Observação importante: vou modelar o recinto como perfeitamente misturado (concentração homogênea no volume) — isso é padrão nesses problemas e permite usar um balanço simples entre geração e remoção.
Passo 2
Converter a geração
em aumento de concentração por hora (na mesma unidade partes por
por hora).
Raciocínio: se entram
de vapor de benzeno por hora num volume total de
, a fração volumétrica adicionada por hora é
Para converter essa fração em "partes por
", multiplica-se por
:
Portanto a geração corresponde a um acréscimo de
partes por
por hora. Vou chamar essa taxa de geração (em unidades compatíveis com
) de
.
Passo 3
Determinar a taxa de renovação do ar (coeficiente de remoção) causada pela ventilação.
Com mistura perfeita, a remoção é proporcional à concentração atual; o coeficiente é
Interpretação: numa hora, uma fração
do conteúdo do recinto é renovada (e, por consequência, a concentração é reduzida proporcionalmente).
Passo 4
Montar o balanço de massa (equação diferencial) para a concentração
em partes por
.
Termos:
- entrada/geração: taxa constante
. - remoção por ventilação: proporcional a
com taxa .
Logo a equação é
Condição inicial:
.
Passo 5
Resolver a equação diferencial linear
.
Esta é uma EDO linear de primeira ordem com solução de regime permanente (estado estacionário) e termo transiente exponencial. A solução geral pode ser escrita como
onde
é o valor em regime permanente obtido impondo
:
Passo 6
Calcular
e obter a solução particular com a condição inicial.
Já temos
e
. Então
Aplicando
na fórmula da solução:
Passo 7
Determinar o tempo
tal que
.
Partimos de
Isolando o exponencial:
Dividindo:
Tomando logaritmo natural:
Portanto
Passo 8
Calcular numericamente
e converter em horas, minutos e segundos.
Valor numérico:
então
Converter para horas, minutos e segundos:
Arredondando de forma razoável:
.