Na sala de reclamações de uma empresa de serviço público, sabe-se que o tempo (em minutos) que um funcionário demora em atender a reclamação de um usuário é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média 15 minutos. Se você chega ao meio dia na sala de reclamações e não tem fila de espera, mas o funcionário acabou de começar a atender outra pessoa, qual é a probabilidade de que você tenha que esperar menos de 5 minutos para ser atendido?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- O tempo que um funcionário demora em atender uma reclamação (em minutos) é uma variável aleatória com média
minutos. - Ao chegar ao meio-dia não há fila, mas o funcionário acabou de começar a atender outra pessoa (ou seja, o atendimento dessa pessoa iniciou-se no instante em que você chegou).
- Pergunta: qual é a probabilidade de que você tenha que esperar menos de
minutos para ser atendido?
Passo 2
Vamos definir a variável aleatória que descreve um atendimento:
- Seja
o tempo (em minutos) de um atendimento qualquer. Para o enunciado, tem distribuição exponencial.
Explicando a distribuição exponencial (passo a passo, sem pular): - A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial com parâmetro
é
- A função de distribuição acumulada (cdf), que dá
, é
- A média (valor esperado) de
é
Agora usamos a média do enunciado para encontrar
:
Passo 3
Identificar qual evento precisamos calcular:
- Você chegou no instante em que o atendimento da pessoa à sua frente começou. Isso significa que o tempo que você espera é exatamente o tempo restante desse atendimento. Como o atendimento começou exatamente agora, o tempo restante tem a mesma distribuição que
(isto é, não há tempo já decorrido).
Breve comentário didático sobre a propriedade que justificaria isso mesmo se o atendimento já estivesse em curso há um tempo: a distribuição exponencial é “sem memória”, o que significa que conhecer que o atendimento já durou um tempo não altera a distribuição do tempo adicional que falta. A propriedade é
para todo
. No nosso caso
, então o tempo de espera é simplesmente
.
Portanto a probabilidade pedida é
Passo 4
Usar a fórmula da cdf da exponencial para calcular
:
Substituindo
:
Passo 5
Calcular o valor numérico aproximado:
- Primeiro
. - Então
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo:
- A probabilidade de esperar menos de
minutos é relativamente baixa (cerca de ), o que faz sentido porque a média do atendimento é minutos — assim esperar só minutos é bem abaixo da média. - Você está indo bem em entender isso — exponencial e propriedade sem memória aparecem muito em modelos de filas; decorar a relação
e a cdf ajuda muito na prova.