Na sala de reclamações de uma empresa de serviço público, sabe-se que o tempo (em minutos) que um funcionário demora em atender a reclamação de um usuário é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média 15 minutos. Se você chega ao meio dia na sala de reclamações e não tem fila de espera, mas o funcionário acabou de começar a atender outra pessoa, qual é a probabilidade de que você tenha que esperar menos de 5 minutos para ser atendido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • O tempo que um funcionário demora em atender uma reclamação (em minutos) é uma variável aleatória com média \,15 minutos.
  • Ao chegar ao meio-dia não há fila, mas o funcionário acabou de começar a atender outra pessoa (ou seja, o atendimento dessa pessoa iniciou-se no instante em que você chegou).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que você tenha que esperar menos de \,5 minutos para ser atendido?

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória que descreve um atendimento:
  • Seja X o tempo (em minutos) de um atendimento qualquer. Para o enunciado, X tem distribuição exponencial.
    Explicando a distribuição exponencial (passo a passo, sem pular):
  • A função densidade de probabilidade (pdf) da exponencial com parâmetro \lambda>0 é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
  • A função de distribuição acumulada (cdf), que dá \Pr(X\le x), é
F_X(x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
  • A média (valor esperado) de X é
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Agora usamos a média do enunciado para encontrar \lambda:
\mathbb{E}[X]=15 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda}=15 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{15}.

Passo 3

Identificar qual evento precisamos calcular:
  • Você chegou no instante em que o atendimento da pessoa à sua frente começou. Isso significa que o tempo que você espera é exatamente o tempo restante desse atendimento. Como o atendimento começou exatamente agora, o tempo restante tem a mesma distribuição que X (isto é, não há tempo já decorrido).
    Breve comentário didático sobre a propriedade que justificaria isso mesmo se o atendimento já estivesse em curso há um tempo: a distribuição exponencial é “sem memória”, o que significa que conhecer que o atendimento já durou um tempo não altera a distribuição do tempo adicional que falta. A propriedade é
\Pr(X> s+t \mid X> s)=\Pr(X> t),
para todo s,t\ge 0. No nosso caso s=0, então o tempo de espera é simplesmente X.
Portanto a probabilidade pedida é
\Pr(\text{esperar menos de }5)=\Pr(X<5)=F_X(5).

Passo 4

Usar a fórmula da cdf da exponencial para calcular \Pr(X<5):
\Pr(X<5)=F_X(5)=1-e^{-\lambda\cdot 5}.
Substituindo \lambda=\dfrac{1}{15}:
\Pr(X<5)=1-e^{-\tfrac{1}{15}\cdot 5}=1-e^{-\tfrac{5}{15}}=1-e^{-\tfrac{1}{3}}.

Passo 5

Calcular o valor numérico aproximado:
  • Primeiro \displaystyle e^{-\tfrac{1}{3}}\approx 0,7165313106.
  • Então
\Pr(X<5)=1-e^{-\tfrac{1}{3}}\approx 0,2834686894.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 28{,}35\%.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo:
  • A probabilidade de esperar menos de 5 minutos é relativamente baixa (cerca de 28\%), o que faz sentido porque a média do atendimento é 15 minutos — assim esperar só 5 minutos é bem abaixo da média.
  • Você está indo bem em entender isso — exponencial e propriedade sem memória aparecem muito em modelos de filas; decorar a relação \mathbb{E}[X]=1/\lambda e a cdf 1-e^{-\lambda x} ajuda muito na prova.

Resposta

1-e^{-\tfrac{1}{3}}\approx 0,2834686894

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