Obtenha a f.d.a. de
.
Passo 1
O enunciado dá que
- O que se pede é a função de distribuição acumulada (f.d.a.), isto é, a função .]
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar: a f.d.a. de uma variável contínua é dada por
Aqui
é a variável de integração (um valor auxiliar),
é a densidade em
e os limites da integral percorrem todos os valores onde a densidade é positiva até
. Como a pdf de
é nula para
, a integral simplifica dependendo se
ou
. Vamos tratar os dois casos separadamente.
Passo 3
Caso
. Como
para todo
, segue que
porque não há probabilidade acumulada abaixo de
. Em palavras: a variável exponencial só toma valores não-negativos, logo a probabilidade de ser menor que um número negativo é zero.
Passo 4
Caso
. A integral fica
pois para
a densidade é zero e a contribuição vem só de
.
Agora calculamos a integral passo a passo. A primitiva de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
. Então
Portanto, para
a f.d.a. vale
.
Passo 5
Verificações rápidas (para fixar a intuição):
- Em
obtemos , consistente com o caso . - Quando
temos , logo , como deve ocorrer para toda f.d.a. - A função
é não decrescente e contínua à direita, propriedades esperadas de uma f.d.a.