Obtenha a f.d.a. de X \sim \operatorname{Exp}(\lambda).

Passo 1

O enunciado dá que X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\) e pede a f.d.a. de \(X\). Informações relevantes: - O parâmetro \(\lambda\) é positivo: \(\lambda>0\). - Pela definição padrão da distribuição Exponencial, a densidade de probabilidade (pdf) de \(X\) é \[f_X(t)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda t}, & t\ge 0,\\[4pt] 0, & t<0. \end{cases}
  • O que se pede é a função de distribuição acumulada (f.d.a.), isto é, a função F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)\] definida para todo \(x\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar: a f.d.a. de uma variável contínua é dada por
F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt.
Aqui t é a variável de integração (um valor auxiliar), f_X(t) é a densidade em t e os limites da integral percorrem todos os valores onde a densidade é positiva até x. Como a pdf de X é nula para t<0, a integral simplifica dependendo se x<0 ou x\ge0. Vamos tratar os dois casos separadamente.

Passo 3

Caso x<0. Como f_X(t)=0 para todo t<0, segue que
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt = 0,
porque não há probabilidade acumulada abaixo de 0. Em palavras: a variável exponencial só toma valores não-negativos, logo a probabilidade de ser menor que um número negativo é zero.

Passo 4

Caso x\ge 0. A integral fica
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt = \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t}\,dt,
pois para t<0 a densidade é zero e a contribuição vem só de t\in[0,x].
Agora calculamos a integral passo a passo. A primitiva de \lambda e^{-\lambda t} em relação a t é -e^{-\lambda t}, porque a derivada de -e^{-\lambda t} é -(-\lambda)e^{-\lambda t}=\lambda e^{-\lambda t}. Então
\int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t}\,dt = \bigl[-e^{-\lambda t}\bigr]_{t=0}^{t=x} = -e^{-\lambda x} - \bigl(-e^{0}\bigr) = 1 - e^{-\lambda x}.
Portanto, para x\ge 0 a f.d.a. vale 1-e^{-\lambda x}.

Passo 5

Verificações rápidas (para fixar a intuição):
  • Em x=0 obtemos F_X(0)=1-e^{0}=0, consistente com o caso x<0.
  • Quando x\to\infty temos e^{-\lambda x}\to 0, logo F_X(x)\to 1, como deve ocorrer para toda f.d.a.
  • A função F_X(x) é não decrescente e contínua à direita, propriedades esperadas de uma f.d.a.

Resposta

F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1 - e^{-\lambda x}, & x\ge 0. \end{cases}]

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