Seja X \sim U(-a, a), determine o valor do parâmetro a de modo que:
P(|X|<1)=P(|X|>2).

Passo 1

O enunciado dá que X\sim U(-a,a) (distribuição uniforme simétrica em torno de zero, com parâmetro a>0) e pede para determinar a tal que
P\big(|X|<1\big)=P\big(|X|>2\big).
Informações relevantes:
  • A densidade de X é constante em (-a,a) e vale \dfrac{1}{2a} nesse intervalo.
  • As probabilidades de eventos do tipo |X|<b ou |X|>b são obtidas pela razão entre o comprimento da interseção do intervalo (-a,a) com o conjunto pedido e o comprimento total 2a.
  • A igualdade acima pode depender de como a se compara com 1 e com 2. Vou examinar esses casos.

Passo 2

Relembrando como calcular probabilidades na uniforme contínua U(-a,a):
  • Se I é um subintervalo de (-a,a), então
P(X\in I)=\frac{\text{comprimento de }I}{2a}.
Aplicando isso:
  • P\big(|X|<1\big) é a probabilidade de X estar em (-1,1) intersectado com (-a,a).
  • P\big(|X|>2\big) é a probabilidade de X estar em (-\infty,-2)\cup(2,\infty) intersectado com (-a,a).

Passo 3

Vamos separar em casos segundo o valor de a em relação a 1 e 2:
  • Caso A: 0<a\le 1.
  • Caso B: 1<a\le 2.
  • Caso C: a>2.
    Em cada caso, os comprimentos das interseções mudam — vou calcular em cada um.

Passo 4

Caso A: 0<a\le 1.
  • Aqui (-a,a)\subset(-1,1), então a interseção de (-a,a) com (-1,1) é todo (-a,a). Logo
P\big(|X|<1\big)=\frac{2a}{2a}=1.
  • Também (-a,a)\subset(-2,2), então não há pontos com |X|>2 no suporte, logo
P\big(|X|>2\big)=0.
Conclusão: P(|X|<1)=1 e P(|X|>2)=0, não há igualdade. Assim, nenhum a neste intervalo resolve a equação.

Passo 5

Caso B: 1<a\le 2.
  • Agora (-1,1) está totalmente contido em (-a,a), enquanto (-a,a) ainda está contido em (-2,2). Então
P\big(|X|<1\big)=\frac{\text{comprimento de }(-1,1)}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}.
  • E novamente não há pontos com |X|>2 no suporte, então
P\big(|X|>2\big)=0.
Igualando daria \dfrac{1}{a}=0, impossível. Portanto nenhum a com 1<a\le 2 satisfaz a igualdade.

Passo 6

Caso C: a>2.
  • Agora tanto (-1,1) quanto as regiões \{x:|x|>2\} interceptam o suporte (-a,a).
  • Comprimento de (-1,1) é 2, então
P\big(|X|<1\big)=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}.
  • As partes com |x|>2 dentro de (-a,a) são (-a,-2) e (2,a). Cada uma tem comprimento a-2, somando 2(a-2). Assim
P\big(|X|>2\big)=\frac{2(a-2)}{2a}=\frac{a-2}{a}.
  • Impor a igualdade dá a equação
\frac{1}{a}=\frac{a-2}{a}.
Multiplicando ambos os lados por a (válido pois a>0) obtemos
1=a-2.
Portanto
a=3.
Verificação: a=3>2 então o caso é consistente. Para a=3 ambas as probabilidades valem 1/3.

Resposta

a=3

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