Seja
, determine o valor do parâmetro
de modo que:
.
Passo 1
O enunciado dá que
(distribuição uniforme simétrica em torno de zero, com parâmetro
) e pede para determinar
tal que
Informações relevantes:
- A densidade de
é constante em e vale nesse intervalo. - As probabilidades de eventos do tipo
ou são obtidas pela razão entre o comprimento da interseção do intervalo com o conjunto pedido e o comprimento total . - A igualdade acima pode depender de como
se compara com e com . Vou examinar esses casos.
Passo 2
Relembrando como calcular probabilidades na uniforme contínua
:
- Se
é um subintervalo de , então
Aplicando isso:
-
é a probabilidade de estar em intersectado com . -
é a probabilidade de estar em intersectado com .
Passo 3
Vamos separar em casos segundo o valor de
em relação a
e
:
- Caso A:
. - Caso B:
. - Caso C:
.
Em cada caso, os comprimentos das interseções mudam — vou calcular em cada um.
Passo 4
Caso A:
.
- Aqui
, então a interseção de com é todo . Logo
- Também
, então não há pontos com no suporte, logo
Conclusão:
e
, não há igualdade. Assim, nenhum
neste intervalo resolve a equação.
Passo 5
Caso B:
.
- Agora
está totalmente contido em , enquanto ainda está contido em . Então
- E novamente não há pontos com
no suporte, então
Igualando daria
, impossível. Portanto nenhum
com
satisfaz a igualdade.
Passo 6
Caso C:
.
- Agora tanto
quanto as regiões interceptam o suporte . - Comprimento de
é , então
- As partes com
dentro de são e . Cada uma tem comprimento , somando . Assim
- Impor a igualdade dá a equação
Multiplicando ambos os lados por
(válido pois
) obtemos
Portanto
Verificação:
então o caso é consistente. Para
ambas as probabilidades valem
.