Os salários dos diretores das empresas de Minas Gerais distribuem-se normalmente com média R (8.000,00) e desvio padrão Rã 500,00. Qual a porcentagem de diretores que recebem:
entre R$ 8.920,00 e 9.380,00?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma porcentagem:
  • A distribuição dos salários é normal com média \mu = 8\,000 (reais) e desvio padrão \sigma = 500 (reais).
  • Queremos a porcentagem de diretores que recebem entre R$ 8\,920 e R$ 9\,380.
    Ou seja, precisamos calcular a probabilidade
P(8\,920 \le X \le 9\,380)
onde X é a variável aleatória do salário, com X \sim N(\mu,\sigma^2) e os valores de \mu e \sigma indicados acima.

Passo 2

O que é a distribuição normal e como transformamos para uma tabela padrão:
  • A distribuição normal N(\mu,\sigma^2) descreve valores em torno da média \mu com dispersão dada por \sigma.
  • Para usar a tabela da normal padrão (tabela de Z), transformamos X em uma variável padronizada Z com média 0 e desvio 1 usando a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z é a posição do valor X em unidades de desvio padrão. A função \Phi(z) dá a probabilidade P(Z\le z) na normal padrão.

Passo 3

Calcular os valores de Z correspondentes aos limites 8\,920 e 9\,380:
  • Para X=8\,920:
Z_1=\frac{8\,920-8\,000}{500}=\frac{920}{500}=1,84.
  • Para X=9\,380:
Z_2=\frac{9\,380-8\,000}{500}=\frac{1\,380}{500}=2,76.

Passo 4

Encontrar as probabilidades na normal padrão:
  • \Phi(1,84) é a probabilidade P(Z\le 1{,}84). Pela tabela da normal padrão ou calculadora obtemos \Phi(1,84)=0{,}9671.
  • \Phi(2,76) é a probabilidade P(Z\le 2{,}76). Pela tabela ou calculadora obtemos \Phi(2,76)=0{,}9971.
    (Estou usando valores de tabela padrão; se você usar outra tabela ou calculadora pode obter valores muito próximos.)

Passo 5

Calcular a probabilidade entre os dois Z:
P(1{,}84 \le Z \le 2{,}76)=\Phi(2{,}76)-\Phi(1{,}84)=0{,}9971-0{,}9671=0{,}0300.
Convertendo em porcentagem:
0{,}0300 \times 100\% = 3{,}00\%.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: isso significa que aproximadamente 3{,}00\% dos diretores ganham entre R$ 8\,920 e R$ 9\,380. Na prova, calcule sempre os Z com a fórmula \displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma} e consulte a tabela da normal padrão para \Phi(z); subtraia as \Phis para obter a probabilidade entre dois pontos.

Resposta

3{,}00\%

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