Exercício 2.2 A sequência a_{n}=\frac{1}{n} converge e a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} diverge. Essa afirmação é verdadeira?

Passo 1

O enunciado afirma duas coisas e pergunta se isso é verdadeiro:
  1. A sequência \,a_{n}=\frac{1}{n}\, converge.
  2. A série \,\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\, diverge.
Informações dadas: a fórmula da sequência termo a termo \,a_{n}=\frac{1}{n}\, e a série harmônica \,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\,.
Pergunta a responder: a afirmação inteira (as duas partes) é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Vou mostrar primeiro que a sequência \,a_{n}=\frac{1}{n}\, converge e para qual limite. Lembrete (definição de limite de sequência): dizer que \,\lim_{n\to\infty} a_n = L\, significa que, para todo \,\varepsilon>0\,, existe um inteiro \,N\, tal que, para todo \,n\ge N, temos \,|a_n-L|<\varepsilon\,.
Aqui eu suspeito que o limite é \,L=0. Vamos provar com a definição: calcule
|a_n-0|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}.
Dado um \,\varepsilon>0\,, basta escolher um inteiro \,N\, tal que
N>\frac{1}{\varepsilon}.
Então, para todo n\ge N temos \,n\ge N>1/\varepsilon, o que implica
\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Portanto \,|a_n-0|<\varepsilon\, para todo n\ge N. Isso prova que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,
ou seja, a sequência converge e seu limite é 0.

Passo 3

Um comentário intuitivo e numérico rápido (para fixar): quando n=10 temos \,a_{10}=0,1; quando n=100 temos \,a_{100}=0,01. Conforme n cresce, \,1/n\, fica cada vez menor e se aproxima de zero. A prova anterior formaliza isso.

Passo 4

Agora vou provar que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Defino as somas parciais
S_m=\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n}.
A série converge se e somente se a sequência \,(S_m)_{m}\, das somas parciais converge (para um número finito). Vou mostrar que \,S_m\to+\infty\,, isto é, que as somas parciais crescem sem limite.
A prova clássica por agrupamento funciona assim: escrevemos a série agrupando termos em blocos cujo tamanho dobra a cada bloco.
Blocos:
  • bloco 1: \,n=1 → soma \,1.
  • bloco 2: \,n=2 → soma \,\frac{1}{2}.
  • bloco 3: \,n=3,4 → soma \,\frac{1}{3}+\frac{1}{4}.
  • bloco 4: \,n=5,6,7,8 → soma \,\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}.
  • em geral, bloco k (para k\ge 2) contém os termos com n entre 2^{k-1}+1 e 2^{k} (inclusive), ou seja, tem 2^{k-1} termos.
Agora uma estimativa inferior para a soma de cada bloco (para k\ge 2): em cada bloco k todos os termos são maiores ou iguais a \,1/2^{k}, porque o maior denominador do bloco é 2^{k}. Assim a soma do bloco k (que tem 2^{k-1} termos) satisfaz
\text{soma do bloco }k \ge 2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2}.
Logo, agrupando os termos até o final do bloco m (começando em k=1 ou ajustando o primeiro bloco), obtemos uma desigualdade do tipo
S_{2^m}\ge 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}}_{(m-1)\\ \text{vezes}} =1+\frac{m}{2}.
Essa expressão cresce quando m cresce; em particular, ao levar m\to\infty obtemos S_{2^m}\to+\infty. Isso mostra que as somas parciais não ficam limitadas por nenhum número finito, portanto a série diverge (mais precisamente, diverge para +\infty).

Passo 5

Resumo do motivo essencial: apesar de os termos \,\frac{1}{n}\, tenderem a zero (condição necessária para convergência de uma série), essa condição não é suficiente. No caso da série harmônica os termos são “grandes demais” em conjunto, e os blocos mostram que somam uma quantidade não negligenciável repetidamente (cada bloco fornece pelo menos \,1/2\,), fazendo a soma crescer sem fim.
Um contraexemplo útil para fixar a ideia: a série geométrica \,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}\, tem termos também tendendo a zero, mas converge (para 1). A diferença é que os termos \,1/2^{n}\, decaem muito mais rápido que \,1/n.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: portanto a afirmação do enunciado é verdadeira — a sequência converge para 0 e a série harmônica diverge. Eu sei que isso parece meio estranho à primeira vista (termos vão a zero mas a soma explode), mas é um ponto clássico que vale decorar e entender com o argumento por blocos que a gente fez. Vai dar certo na prova — respira e confia no passo a passo.

Resposta

Verdadeira: a sequência \,a_{n}=\frac{1}{n}\, converge para 0; a série \,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\, diverge.

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