Exercício 2.3 Dê exemplo de uma sequência a_{n} que seja convergente mas que a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} seja divergente.

Passo 1

O enunciado pede: “Dê exemplo de uma sequência a_{n} que seja convergente mas que a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} seja divergente.”
Informações dadas e condições que a resposta deve satisfazer:
  • A sequência \(a_{n}) deve ser convergente: existe um número finito \ell tal que \lim_{n\to\infty} a_{n}=\ell.
  • A série \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}) associada a essa sequência deve ser divergente: os somatórios parciais \(S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}) não convergem para um número finito quando N\to\infty.
  • A resposta precisa apresentar explicitamente a sequência \(a_{n}) (ou seja, dar uma fórmula) e mostrar por que ela satisfaz as duas condições acima.

Passo 2

Definição e ferramenta importante (que vamos usar): o que significa convergência de sequência e de série.
  • Uma sequência \(a_{n}) converge para \ell se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |a_{n}-\ell|<\varepsilon para todo n\ge N. Em notação: \lim_{n\to\infty} a_{n}=\ell.
  • Uma série \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}) converge se a sequência dos somatórios parciais \(S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}) converge para algum número finito S quando N\to\infty.
  • Resultado necessário (muito usado em provas): se \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}) converge, então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Vamos demonstrar essa propriedade curta porque é útil para escolher um exemplo.

Passo 3

Prova curta do resultado necessário: se \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}) converge com soma S, então a_{n}\to 0.
  • Se \(S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}) converge para S, então S_{N}-S_{N-1}=a_{N}.
  • Como S_{N}\to S e S_{N-1}\to S quando N\to\infty, segue que a_{N}=S_{N}-S_{N-1}\to S-S=0.
  • Conclusão: convergência da série implica que os termos da sequência vão a zero. Logo, se escolhermos uma sequência cujo limite não é zero, a série correspondente não pode convergir.

Passo 4

Escolha simples e natural de exemplo usando a observação anterior:
  • Tome a sequência constante \(a_{n}=1) para todo n\in\mathbb{N}.
  • Verificação da convergência da sequência: \lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} 1 = 1.Portanto \(a_{n}) é convergente (para \ell=1).
  • Agora mostre que a série diverge:
    • Os somatórios parciais são S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n}=\sum_{n=1}^{N} 1 = N.
    • Quando N\to\infty, S_{N}=N\to\infty. Logo os somatórios parciais não convergem para um número finito; a série diverge (diverge para +\infty).
  • Assim \(a_{n}=1) é um exemplo que satisfaz exatamente as duas condições do enunciado.

Passo 5

Comentário pedagógico extra (útil para prova): a condição “os termos vão a zero” é necessária, mas não suficiente. Ou seja, existem sequências com a_{n}\to 0 cuja série \sum a_{n} ainda diverge. Um exemplo clássico:
  • Tome \(a_{n}=\tfrac{1}{n}). Então \lim_{n\to\infty} a_{n}=0, mas a série harmônica \(\sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{n}) diverge.
  • Uma prova simples da divergência da série harmônica é agrupar termos: 1+\tfrac{1}{2}+\bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}\bigr)+\bigl(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{8}\bigr)+\cdotsem que cada grupo posterior tem soma maior ou igual a \tfrac{1}{2}, então os somatórios parciais crescem indefinidamente.
  • Esse exemplo é útil na prova porque mostra que verificar apenas a_{n}\to 0 não garante convergência da série; é só um filtro inicial.

Resposta

\;a_{n}=1 para todo n.
\;\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge.

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