Exercício 2.3 Dê exemplo de uma sequência
que seja convergente mas que a série
seja divergente.
Passo 1
O enunciado pede: “Dê exemplo de uma sequência
que seja convergente mas que a série
seja divergente.”
Informações dadas e condições que a resposta deve satisfazer:
Informações dadas e condições que a resposta deve satisfazer:
- A sequência
) deve ser convergente: existe um número finito
tal que . - A série
) associada a essa sequência deve ser divergente: os somatórios parciais
) não convergem para um número finito quando
. - A resposta precisa apresentar explicitamente a sequência ) (ou seja, dar uma fórmula) e mostrar por que ela satisfaz as duas condições acima.
Passo 2
Definição e ferramenta importante (que vamos usar): o que significa convergência de sequência e de série.
- Uma sequência
) converge para
se, para todo , existe tal que para todo . Em notação: . - Uma série
) converge se a sequência dos somatórios parciais
) converge para algum número finito
quando . - Resultado necessário (muito usado em provas): se
) converge, então necessariamente
. Vamos demonstrar essa propriedade curta porque é útil para escolher um exemplo.
Passo 3
Prova curta do resultado necessário: se
) converge com soma
, então
.
- Se
) converge para
, então . - Como
e quando , segue que . - Conclusão: convergência da série implica que os termos da sequência vão a zero. Logo, se escolhermos uma sequência cujo limite não é zero, a série correspondente não pode convergir.
Passo 4
Escolha simples e natural de exemplo usando a observação anterior:
- Tome a sequência constante
) para todo
. - Verificação da convergência da sequência:
Portanto ) é convergente (para ). - Agora mostre que a série diverge:
- Os somatórios parciais são
- Quando
, . Logo os somatórios parciais não convergem para um número finito; a série diverge (diverge para ).
- Os somatórios parciais são
- Assim ) é um exemplo que satisfaz exatamente as duas condições do enunciado.
Passo 5
Comentário pedagógico extra (útil para prova): a condição “os termos vão a zero” é necessária, mas não suficiente. Ou seja, existem sequências com
cuja série
ainda diverge. Um exemplo clássico:
- Tome
). Então
, mas a série harmônica ) diverge. - Uma prova simples da divergência da série harmônica é agrupar termos:
em que cada grupo posterior tem soma maior ou igual a , então os somatórios parciais crescem indefinidamente. - Esse exemplo é útil na prova porque mostra que verificar apenas
não garante convergência da série; é só um filtro inicial.