In a sample that contains hydrogen, among other things, four spectral lines are found in the infrared with wavelengths 7460 \mathrm{~nm}, 4654 \mathrm{~nm}, 4103 \mathrm{~nm}, and 3741 nm . Which one does not belong to a hydrogen spectral series?

Passo 1

O enunciado lista quatro linhas espectrais no infravermelho de um amostra contendo hidrogênio, com comprimentos de onda
\lambda_1=7460\,\mathrm{nm}, \lambda_2=4654\,\mathrm{nm}, \lambda_3=4103\,\mathrm{nm} e \lambda_4=3741\,\mathrm{nm}, e pede qual delas não pertence a nenhuma série espectral de hidrogênio. Vamos usar a fórmula de Rydberg para hidrogênio,
\frac{1}{\lambda} = R_{\mathrm{H}}\biggl(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\biggr),
com R_{\mathrm{H}}=1{,}097\times10^7\;\mathrm{m^{-1}} e n_2>n_1.

Passo 2

Identificamos as principais séries no infravermelho:
– Série de Paschen ( n_1=3): vai de \lambda\approx820\,\mathrm{nm} (limite n_2\to\infty) até \lambda\approx1875\,\mathrm{nm} ( 4\to3).
– Série de Brackett ( n_1=4): vai de \lambda\approx1458\,\mathrm{nm} (limite) até \lambda\approx4051\,\mathrm{nm} ( 5\to4).
– Série de Pfund ( n_1=5): vai de \lambda\approx2277\,\mathrm{nm} (limite) até \lambda\approx7456\,\mathrm{nm} ( 6\to5).

Passo 3

Das quatro linhas, somente \lambda_1=7460\,\mathrm{nm}, \lambda_2=4654\,\mathrm{nm} e \lambda_4=3741\,\mathrm{nm} estão acima de 4051\,\mathrm{nm}, portanto não podem ser da série de Brackett nem de Paschen (cujo máximo é 1875\,\mathrm{nm}). Logo, se são hidrogênio, pertencem à série de Pfund ( n_1=5).

Passo 4

Calculemos os primeiros comprimentos de onda da série de Pfund:
Para n_2=6:
\frac{1}{\lambda_{6\to5}} =R_{\mathrm{H}}\Bigl(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}\Bigr) \approx1{,}097\times10^7\cdot\frac{11}{900}\approx1{,}341\times10^5\;\mathrm{m^{-1}} \;\Rightarrow\;\lambda_{6\to5}\approx7456\,\mathrm{nm}.
Para n_2=7:
\frac{1}{\lambda_{7\to5}} =R_{\mathrm{H}}\Bigl(\frac{1}{25}-\frac{1}{49}\Bigr) \approx2{,}149\times10^5\;\mathrm{m^{-1}} \;\Rightarrow\;\lambda_{7\to5}\approx4652\,\mathrm{nm}.
Para n_2=8:
\frac{1}{\lambda_{8\to5}} =R_{\mathrm{H}}\Bigl(\frac{1}{25}-\frac{1}{64}\Bigr) \approx2{,}676\times10^5\;\mathrm{m^{-1}} \;\Rightarrow\;\lambda_{8\to5}\approx3738\,\mathrm{nm}.
Esses valores coincidem com \lambda_1, \lambda_2 e \lambda_4.

Passo 5

A única linha que não casa com nenhum cálculo acima é
\lambda_3=4103\,\mathrm{nm},
pois a série de Brackett termina em \approx4051\,\mathrm{nm} e a de Pfund já está abaixo de 3740\,\mathrm{nm}. Portanto, \lambda_3 não pertence a nenhuma série de hidrogênio.

Resposta

\displaystyle 4103\,\mathrm{nm} não pertence a nenhuma série espectral de hidrogênio.

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