An astronomer finds a new absorption line with \lambda=164.1 \mathrm{~nm} in the ultraviolet region of the Sun’s continuous spectrum. He attributes the line to hydrogen’s Lyman series. Is he right? Justify your answer.

Passo 1

O enunciado diz que apareceu uma linha de absorção em \lambda=164{,}1\\ \mathrm{nm} no espectro contínuo do Sol e que se supõe ser da série de Lyman do hidrogênio. O conteúdo aqui é transições eletrônicas de átomos de hidrogênio, que seguem a fórmula de Rydberg. Vamos ver se \lambda=164{,}1\\ \mathrm{nm} pode corresponder a uma transição n\to1.

Passo 2

Na série de Lyman todas as transições são do nível n\ge2 para n=1. O maior comprimento de onda (menor energia) dessa série é o da transição n=2\to1, que é o Lyman- \alpha em
\lambda_{2\to1}=121{,}6\\ \mathrm{nm}.
Portanto, qualquer linha de Lyman deve ter \lambda\le121{,}6\\ \mathrm{nm}.

Passo 3

Para ficar mais rigoroso, aplicamos a fórmula de Rydberg para hidrogênio:
\frac{1}{\lambda} =R_H\Bigl(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{n^2}\Bigr),
onde R_H=1,0974\times10^7\\ \mathrm{m^{-1}}. Substituindo \lambda=164{,}1\\ \mathrm{nm}=1,641\times10^{-7}\\ \mathrm{m}, temos
\frac{1}{\lambda} =6,095\times10^6\\ \mathrm{m^{-1}} \quad\Longrightarrow\quad 6,095\times10^6 =1,0974\times10^7\Bigl(1-\tfrac{1}{n^2}\Bigr).
Isso dá
1-\frac{1}{n^2} =\frac{6,095\times10^6}{1,0974\times10^7}\approx0,5556 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n^2}\approx0,4444 \quad\Longrightarrow\quad n\approx1{,}5,
que não é um número inteiro.

Passo 4

Como o cálculo indicou n\approx1{,}5 (não inteiro) e ainda sabemos que a maior \lambda de Lyman é 121{,}6\\ \mathrm{nm}, concluímos que \lambda=164{,}1\\ \mathrm{nm} não pode ser uma linha da série de Lyman do hidrogênio.

Resposta

Ele está errado. A linha de \lambda=164{,}1\\ \mathrm{nm} não pertence à série de Lyman, pois todas as linhas de Lyman têm \lambda\le121{,}6\\ \mathrm{nm} e a aplicação da fórmula de Rydberg não leva a um nível n inteiro.

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