Uma indiustria metalúrgica retira cilindros maciços de aço-carbono de um forno a uma temperatura uniforme de
. Cada cilindro possui diâmetro de 4 cm e comprimento de 8 cm . Após a saída do forno, os cilindros são imediatamente mergulhados em um banho de óleo mantido a
. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção entre o óleo e a superfície dos cilindros é estimado em hi
. As propriedades do aço-carbono são:
. Determine: a) (10 pts.) O comprimento característico do cilindro, considerando que há troca de calor por toda a superfície externa, incluindo as duas bases; b) ( 10 pts.) O número de Biot e verifique se o método da capacitância global pode ser utilizado; c) ( 10 pts.) O tempo necessário para que a temperatura média do cilindro atinja
; d) ( 10 pts) A quantidade de energia térmica removida de cada cilindro nesse instante.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
Perguntas:
- (a) Determinar o comprimento característico do cilindro, considerando troca de calor por toda a superfície externa (face lateral + duas bases).
- (b) Calcular o número de Biot e verificar se o método da capacitância global (lumped capacitance) pode ser usado.
- (c) Determinar o tempo necessário para que a temperatura média do cilindro atinja
. - (d) Calcular a quantidade de energia térmica removida de cada cilindro até esse instante.
Dados:
- Temperatura inicial do cilindro:
. - Temperatura do banho (fluido):
. - Diâmetro do cilindro:
. Logo raio . - Comprimento (altura) do cilindro:
. - Coeficiente convectivo médio:
. - Condutividade térmica do aço-carbono:
. - Densidade:
. - Calor específico:
.
Observação útil (não resolver aqui ainda): para um corpo sólido com troca convectiva sobre toda a superfície, o comprimento característico usado no número de Biot normalmente é
, onde
é o volume do sólido e
é a área externa total (incluindo as duas bases, se o enunciado pedir).
Passo 2
Cálculo do comprimento característico
para o cilindro (usando toda a superfície externa: lateral + duas bases).
- Volume do cilindro:
- Área externa total (lateral + duas bases):
- Substituindo
e em :
- Agora os números (lembre que
e ):
Interpretação rápida: o comprimento característico fica pequeno porque a razão volume/área para um cilindro “achatado” é pequena — intuitivamente a superfície é relativamente grande em comparação com o volume.
Passo 3
Cálculo do número de Biot e verificação da validade do método da capacitância global.
- Definição do número de Biot:
onde
é o coeficiente convectivo,
o comprimento característico e
a condutividade térmica do sólido.
- Substituindo os valores:
-
Critério de validade do modelo de capacitância global (lumped capacitance): o método é aceitável quando
. Isso significa que a resistência térmica por condução interna é pequena comparada à resistência convectiva na superfície — ou seja, a temperatura dentro do sólido pode ser assumida praticamente homogênea (temperatura média representativa). -
Conclusão: como
, o método da capacitância global pode ser utilizado com segurança aqui.
Passo 4
Formulação do modelo de capacitância global (passo-a-passo: física e fórmulas usadas).
- Ideia física: se a temperatura interna do sólido é praticamente uniforme (válido quando
pequeno), a taxa de perda de energia do corpo por convecção é igual à variação de energia armazenada no corpo:
onde
é a massa,
é a área externa,
a temperatura média do corpo no tempo
e
a temperatura do fluido.
- Reescrevendo e integrando separando variáveis, obtemos a solução exponencial clássica:
- Definição do tempo característico (constante de tempo):
Assim a solução pode ser escrita como
.
Antes de usar, calculamos
,
,
e
numericamente (já usamos
e
anteriormente).
- Volume (relembrando):
- Área total:
- Massa:
- Produto
(capacitância térmica do corpo):
- Produto
(condutância térmica superficial):
- Constante de tempo:
Comentário prático:
é a ordem de grandeza de tempo para as variações térmicas; depois de alguns
a amostra estará bem próxima da temperatura do banho.
Passo 5
Determinar o tempo necessário para que a temperatura média atinja
.
- Usamos a solução do modelo de capacitância global:
- Substituindo
, , :
- Simplificando:
- Tomando logaritmo natural:
- Substituindo
:
Arredondando adequadamente,
(cerca de 2 minutos e 32 segundos).
Passo 6
Quantidade de energia térmica removida de cada cilindro até o instante em que
.
- Energia removida é a redução de energia interna do sólido:
- Usando
, , :
- Calculando:
Arredondando com três algarismos significativos:
(aproximadamente
).
Passo 7
Resumo final rápido (numa frase motivadora): pronto — aplicamos o modelo de capacitância global (justificado pelo pequeno
), resolvemos a equação exponencial e calculamos o tempo e a energia removida. Vai dar para revisar mais alguns exercícios desses que a prova fica bem em vista!
Resposta
(a)
(b) ; método da capacitância global aplicável:
(porque
)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)