Uma indiustria metalúrgica retira cilindros maciços de aço-carbono de um forno a uma temperatura uniforme de 450{ }^{\circ} \mathrm{C}. Cada cilindro possui diâmetro de 4 cm e comprimento de 8 cm . Após a saída do forno, os cilindros são imediatamente mergulhados em um banho de óleo mantido a 80^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção entre o óleo e a superfície dos cilindros é estimado em hi =320 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. As propriedades do aço-carbono são: \mathrm{K}=54 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}), p= 7830 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=465 \mathrm{~J} /(\mathrm{kgK}). Determine: a) (10 pts.) O comprimento característico do cilindro, considerando que há troca de calor por toda a superfície externa, incluindo as duas bases; b) ( 10 pts.) O número de Biot e verifique se o método da capacitância global pode ser utilizado; c) ( 10 pts.) O tempo necessário para que a temperatura média do cilindro atinja 150^{\circ} \mathrm{C}; d) ( 10 pts) A quantidade de energia térmica removida de cada cilindro nesse instante.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
Perguntas:
  • (a) Determinar o comprimento característico do cilindro, considerando troca de calor por toda a superfície externa (face lateral + duas bases).
  • (b) Calcular o número de Biot e verificar se o método da capacitância global (lumped capacitance) pode ser usado.
  • (c) Determinar o tempo necessário para que a temperatura média do cilindro atinja 150{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • (d) Calcular a quantidade de energia térmica removida de cada cilindro até esse instante.
Dados:
  • Temperatura inicial do cilindro: T_i=450{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do banho (fluido): T_\infty=80{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Diâmetro do cilindro: D=4\\ \mathrm{cm}=0,04\\ \mathrm{m}. Logo raio r=\dfrac{D}{2}=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento (altura) do cilindro: L=8\\ \mathrm{cm}=0,08\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente convectivo médio: h=320\\ \mathrm{W}\!/\!(\mathrm{m}^2\mathrm{K}).
  • Condutividade térmica do aço-carbono: k=54\\ \mathrm{W}\!/\!(\mathrm{mK}).
  • Densidade: \rho=7830\\ \mathrm{kg}\!/\!\mathrm{m}^3.
  • Calor específico: c_p=465\\ \mathrm{J}\!/\!(\mathrm{kgK}).
Observação útil (não resolver aqui ainda): para um corpo sólido com troca convectiva sobre toda a superfície, o comprimento característico usado no número de Biot normalmente é \,L_c=\dfrac{V}{A}\,, onde V é o volume do sólido e A é a área externa total (incluindo as duas bases, se o enunciado pedir).

Passo 2

Cálculo do comprimento característico \,L_c=\dfrac{V}{A}\, para o cilindro (usando toda a superfície externa: lateral + duas bases).
  • Volume do cilindro:
V=\pi r^{2} L.
  • Área externa total (lateral + duas bases):
A= \text{área lateral} + \text{2 bases} = 2\pi r L + 2\pi r^{2} = 2\pi r (L+r).á
  • Substituindo V e A em L_c:
L_c=\frac{V}{A}=\frac{\pi r^{2} L}{2\pi r (L+r)}=\frac{r L}{2(L+r)}.
  • Agora os números (lembre que r=0,02\\ \mathrm{m} e L=0,08\\ \mathrm{m}):
L_c=\frac{(0,02)(0,08)}{2(0,08+0,02)}=\frac{0,0016}{2(0,10)}=\frac{0,0016}{0,20}=0,008\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: o comprimento característico fica pequeno porque a razão volume/área para um cilindro “achatado” é pequena — intuitivamente a superfície é relativamente grande em comparação com o volume.

Passo 3

Cálculo do número de Biot e verificação da validade do método da capacitância global.
  • Definição do número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde h é o coeficiente convectivo, L_c o comprimento característico e k a condutividade térmica do sólido.
  • Substituindo os valores:
\mathrm{Bi}=\frac{320\;\cdot\;0,008}{54}=\frac{2,56}{54}\approx 0,047.
  • Critério de validade do modelo de capacitância global (lumped capacitance): o método é aceitável quando \mathrm{Bi}\lesssim 0,1. Isso significa que a resistência térmica por condução interna é pequena comparada à resistência convectiva na superfície — ou seja, a temperatura dentro do sólido pode ser assumida praticamente homogênea (temperatura média representativa).
  • Conclusão: como \mathrm{Bi}\approx 0,047<0,1, o método da capacitância global pode ser utilizado com segurança aqui.

Passo 4

Formulação do modelo de capacitância global (passo-a-passo: física e fórmulas usadas).
  • Ideia física: se a temperatura interna do sólido é praticamente uniforme (válido quando \mathrm{Bi} pequeno), a taxa de perda de energia do corpo por convecção é igual à variação de energia armazenada no corpo:
m c_p \frac{dT}{dt} = - h A \bigl(T(t)-T_\infty\bigr),
onde m=\rho V é a massa, A é a área externa, T(t) a temperatura média do corpo no tempo t e T_\infty a temperatura do fluido.
  • Reescrevendo e integrando separando variáveis, obtemos a solução exponencial clássica:
T(t)-T_\infty = \bigl(T_i - T_\infty\bigr)\,\exp\!\biggl(-\frac{h A}{\rho c_p V}\,t\biggr).
  • Definição do tempo característico (constante de tempo):
\tau=\frac{\rho c_p V}{h A}.
Assim a solução pode ser escrita como \,T(t)-T_\infty=(T_i-T_\infty)\,e^{-t/\tau}\,.
Antes de usar, calculamos V, A, m e \tau numericamente (já usamos r e L anteriormente).
  • Volume (relembrando):
V=\pi r^2 L=\pi (0,02)^2(0,08)=\pi\cdot 3{,}2\times10^{-5}=1{,}0053\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • Área total:
A=2\pi r (L+r)=2\pi(0,02)(0,08+0,02)=2\pi(0,02)(0,10)=0,012566\\ \mathrm{m}^2.
  • Massa:
m=\rho V=7830\cdot 1{,}0053\times10^{-4}\approx 0,7872\\ \mathrm{kg}.
  • Produto \rho c_p V (capacitância térmica do corpo):
\rho c_p V = m c_p \approx 0,7872\cdot 465\approx 366{,}03\\ \mathrm{J/K}.
  • Produto hA (condutância térmica superficial):
hA=320\cdot 0,012566\approx 4{,}021\\ \mathrm{W/K}.
  • Constante de tempo:
\tau=\frac{\rho c_p V}{hA}\approx \frac{366{,}03}{4{,}021}\approx 90{,}99\\ \mathrm{s}.
Comentário prático: \tau é a ordem de grandeza de tempo para as variações térmicas; depois de alguns \tau a amostra estará bem próxima da temperatura do banho.

Passo 5

Determinar o tempo necessário para que a temperatura média atinja T(t)=150{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Usamos a solução do modelo de capacitância global:
T(t)-T_\infty=(T_i-T_\infty)\,e^{-t/\tau}.
  • Substituindo T(t)=150{ }^{\circ}\mathrm{C}, T_i=450{ }^{\circ}\mathrm{C}, T_\infty=80{ }^{\circ}\mathrm{C}:
150-80=(450-80)\,e^{-t/\tau}.
  • Simplificando:
70=370\,e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}=\frac{70}{370}=\frac{7}{37}\approx 0{,}189189.
  • Tomando logaritmo natural:
-\frac{t}{\tau}=\ln\!\left(\frac{7}{37}\right)\quad\Rightarrow\quad t=-\tau\ln\!\left(\frac{7}{37}\right).
  • Substituindo \tau\approx 90{,}99\\ \mathrm{s}:
t\approx 90{,}99\cdot\bigl(-\ln(0{,}189189)\bigr)\approx 90{,}99\cdot 1{,}6650\approx 151{,}6\\ \mathrm{s}.
Arredondando adequadamente, t\approx 152\\ \mathrm{s} (cerca de 2 minutos e 32 segundos).

Passo 6

Quantidade de energia térmica removida de cada cilindro até o instante em que T=150{ }^{\circ}\mathrm{C}.
  • Energia removida é a redução de energia interna do sólido:
Q = m c_p (T_i - T(t)).
  • Usando m\approx 0,7872\\ \mathrm{kg}, c_p=465\\ \mathrm{J/(kgK)}, T_i-T(t)=450-150=300\\ \mathrm{K}:
Q\approx 0,7872\cdot 465\cdot 300.
  • Calculando:
Q\approx 366{,}03\cdot 300\approx 109\,809\\ \mathrm{J}.
Arredondando com três algarismos significativos: Q\approx 1{,}10\times 10^{5}\\ \mathrm{J} (aproximadamente 110\\ \mathrm{kJ}).

Passo 7

Resumo final rápido (numa frase motivadora): pronto — aplicamos o modelo de capacitância global (justificado pelo pequeno \mathrm{Bi}), resolvemos a equação exponencial e calculamos o tempo e a energia removida. Vai dar para revisar mais alguns exercícios desses que a prova fica bem em vista!

Resposta

(a) L_c=0,008\\ \mathrm{m}
(b) \mathrm{Bi}=0,047; método da capacitância global aplicável: \text{sim} (porque \mathrm{Bi}<0,1)
(c) t\approx 152\\ \mathrm{s}
(d) Q\approx 1{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{J}

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