a. Quais são os autovalores e autovetores da matriz identidade.?
b. Mostre que se
e
são autovetores de uma transformação linear associados a
, então
é também autovetor associado ao mesmo
.
b. Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar os autovalores e autovetores da matriz identidade
. - (b) Mostrar que, se
e são autovetores de uma transformação linear (ou matriz) associados ao mesmo autovalor , então também é autovetor associado a (quando não for o vetor zero).
Informações dadas e convenções que vou usar:
- A matriz identidade será chamada de
(de tamanho , salvo indicação em contrário). - Por definição, um vetor
é autovetor de uma matriz associado ao autovalor se . -
e são escalares (números reais ou complexos conforme o contexto), e são vetores não nulos tais que e .
Passo 2
Definição e ideia chave (aula curta e direta).
- Definição de autovalor/autovetor: para uma matriz
e vetor , dizemos que é autovalor e é autovetor associado se
Isto significa que aplicar
em
apenas escala
por
, sem mudar sua direção (exceto talvez inverter se
).
- Linearidade: para matriz
e escalares , vale sempre
Essa propriedade é essencial para a parte (b).
Passo 3
Resolução (a) — mostrar que
é autovalor e quais são os autovetores.
- Calculemos
para um vetor arbitrário . Pela definição de matriz identidade,
- Escrevendo isso como múltiplo de
,
- Comparando com a definição de autovetor, vemos que qualquer vetor
satisfaz . Portanto todo vetor não nulo é autovetor associado ao autovalor . - Logo, o único autovalor da matriz identidade é
e o espaço próprio (o conjunto de todos os autovetores mais o zero) é todo o espaço (ou ), exceto que para autovetor exigimos .
Passo 4
Comentário adicional sobre multiplicidade (importante na prova).
- Podemos também ver isso pelo polinômio característico. Para
temos
- Assim o único valor que zera esse polinômio é
, com multiplicidade algébrica . Isso confirma que é o único autovalor e que há dimensões de liberdade no espaço próprio (o espaço próprio tem dimensão ).
Passo 5
Resolução (b) — provar que
é autovetor associado a
(quando não for zero).
- Partimos das hipóteses:
e . - Usando a linearidade da transformação
(ou multiplicação matricial), aplicamos em :
- Substituindo
e obtemos
- Isso mostra que
é um vetor que, ao ser aplicado por , é multiplicado por . Pela definição, se então ele é um autovetor associado a .
Passo 6
Observações úteis para a prova e exemplos concretos (didática, para fixar).
- Importante: o vetor nulo
satisfaz para qualquer , mas por convenção não se considera o vetor zero como autovetor. Portanto a conclusão precisa da condição . - Exemplo simples para ilustrar: seja
, , ; ambos são autovetores com . Tome e . Então
que é o vetor zero (não é considerado autovetor). Se em vez disso
, então
e esse vetor é autovetor associado a
, como a prova geral garante.
- Outro ponto: se
e são linearmente independentes, então existem escolhas não-triviais de que dão um vetor não-nulo; se são dependentes, então pode facilmente ser zero para certas escolhas de .
Resposta
(a) O único autovalor da matriz identidade
é
. Os autovetores são todos os vetores não nulos do espaço (
).\n
(b) Para e
vale
; portanto, se
, então
é autovetor associado a
.
(b) Para