a. Quais são os autovalores e autovetores da matriz identidade.?
b. Mostre que se u e v são autovetores de uma transformação linear associados a \lambda, então \alpha u-\beta v é também autovetor associado ao mesmo \lambda.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar os autovalores e autovetores da matriz identidade I.
  • (b) Mostrar que, se u e v são autovetores de uma transformação linear (ou matriz) associados ao mesmo autovalor \lambda, então \alpha u - \beta v também é autovetor associado a \lambda (quando não for o vetor zero).
Informações dadas e convenções que vou usar:
  • A matriz identidade será chamada de I (de tamanho n\times n, salvo indicação em contrário).
  • Por definição, um vetor x\neq 0 é autovetor de uma matriz A associado ao autovalor \lambda se A x = \lambda x.
  • \alpha e \beta são escalares (números reais ou complexos conforme o contexto), e u,v são vetores não nulos tais que A u=\lambda u e A v=\lambda v.

Passo 2

Definição e ideia chave (aula curta e direta).
  • Definição de autovalor/autovetor: para uma matriz A e vetor x\neq 0, dizemos que \lambda é autovalor e x é autovetor associado se
A x = \lambda x.
Isto significa que aplicar A em x apenas escala x por \lambda, sem mudar sua direção (exceto talvez inverter se \lambda<0).
  • Linearidade: para matriz A e escalares \alpha,\beta, vale sempre
A(\alpha u + \beta v)=\alpha A u + \beta A v.
Essa propriedade é essencial para a parte (b).

Passo 3

Resolução (a) — mostrar que 1 é autovalor e quais são os autovetores.
  • Calculemos I x para um vetor arbitrário x. Pela definição de matriz identidade,
I x = x.
  • Escrevendo isso como múltiplo de x,
I x = 1\cdot x.
  • Comparando com a definição de autovetor, vemos que qualquer vetor x\neq 0 satisfaz I x = 1\cdot x. Portanto todo vetor não nulo é autovetor associado ao autovalor \lambda=1.
  • Logo, o único autovalor da matriz identidade é \lambda=1 e o espaço próprio (o conjunto de todos os autovetores mais o zero) é todo o espaço \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n), exceto que para autovetor exigimos x\neq 0.

Passo 4

Comentário adicional sobre multiplicidade (importante na prova).
  • Podemos também ver isso pelo polinômio característico. Para I_{n} temos
\det(I_n-\lambda I_n)=\det((1-\lambda)I_n)=(1-\lambda)^n.
  • Assim o único valor que zera esse polinômio é \lambda=1, com multiplicidade algébrica n. Isso confirma que 1 é o único autovalor e que há n dimensões de liberdade no espaço próprio (o espaço próprio tem dimensão n).

Passo 5

Resolução (b) — provar que \alpha u-\beta v é autovetor associado a \lambda (quando não for zero).
  • Partimos das hipóteses: A u=\lambda u e A v=\lambda v.
  • Usando a linearidade da transformação A (ou multiplicação matricial), aplicamos A em \alpha u-\beta v:
A(\alpha u-\beta v)=\alpha A u - \beta A v.
  • Substituindo A u=\lambda u e A v=\lambda v obtemos
A(\alpha u-\beta v)=\alpha \lambda u - \beta \lambda v = \lambda(\alpha u-\beta v).
  • Isso mostra que \alpha u-\beta v é um vetor que, ao ser aplicado por A, é multiplicado por \lambda. Pela definição, se \alpha u-\beta v \neq 0 então ele é um autovetor associado a \lambda.

Passo 6

Observações úteis para a prova e exemplos concretos (didática, para fixar).
  • Importante: o vetor nulo 0 satisfaz A0=\lambda 0 para qualquer \lambda, mas por convenção não se considera o vetor zero como autovetor. Portanto a conclusão precisa da condição \alpha u-\beta v\neq 0.
  • Exemplo simples para ilustrar: seja A=I_2, u=(1,0)^T, v=(2,0)^T; ambos são autovetores com \lambda=1. Tome \alpha=1 e \beta=\tfrac12. Então
\alpha u-\beta v=(1,0)^T-\tfrac12(2,0)^T=(0,0)^T,
que é o vetor zero (não é considerado autovetor). Se em vez disso \beta=\tfrac14, então
\alpha u-\beta v=(1,0)^T-\tfrac14(2,0)^T=(\tfrac12,0)^T\neq 0,
e esse vetor é autovetor associado a \lambda=1, como a prova geral garante.
  • Outro ponto: se u e v são linearmente independentes, então existem escolhas não-triviais de \alpha,\beta que dão um vetor não-nulo; se são dependentes, então \alpha u-\beta v pode facilmente ser zero para certas escolhas de \alpha,\beta.

Resposta

(a) O único autovalor da matriz identidade I_n é \lambda=1. Os autovetores são todos os vetores não nulos do espaço ( \forall x\neq 0,\;I x = 1\cdot x).\n
(b) Para A u=\lambda u e A v=\lambda v vale A(\alpha u-\beta v)=\lambda(\alpha u-\beta v); portanto, se \alpha u-\beta v\neq 0, então \alpha u-\beta v é autovetor associado a \lambda.

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