Prove que:
Os autovetores de uma matriz triangular(ou diagonal) são os elementos da diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte afirmação (vou escrever a forma que faz sentido matematicamente): “Prove que os autovalores de uma matriz triangular (ou diagonal) são os elementos da diagonal principal.”
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Seja A uma matriz quadrada n\times n que é triangular (por exemplo, superior triangular) — isto é, a_{ij}=0 para i>j. O caso diagonal é um caso especial em que a_{ij}=0 para i\neq j.
  • Quer-se mostrar que os autovalores de A coincidem com os elementos a_{11},a_{22},\dots,a_{nn} da diagonal principal.

Passo 2

Definição e ideia-chave (explicada devagarzinho). Um número \lambda\in\mathbb{C} é autovalor de A se existe um vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Isto é equivalente à existência de um vetor v\neq 0 na nulidade da matriz A-\lambda I. Logo \lambda é autovalor se, e somente se,
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=0.
A função \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) é o polinômio característico; suas raízes são exatamente os autovalores de A. Portanto, para identificar os autovalores basta calcular \det(A-\lambda I).

Passo 3

Observação sobre a forma de A-\lambda I. Se A é triangular superior (o raciocínio é análogo para triangular inferior), então A-\lambda I também é triangular superior e seus elementos diagonais são
(a_{11}-\lambda),\\ (a_{22}-\lambda),\\ \dots,\\ (a_{nn}-\lambda).
Ou seja, subtrair \lambda na diagonal não altera a forma triangular, só altera os elementos da diagonal.

Passo 4

Lema importante (e fácil de provar): o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Vou provar por indução em n.
Base n=1. Se n=1 então A=(a_{11}) e \det(A)=a_{11}, que é o produto (trivial).
Passo indutivo. Suponha verdadeiro para (n-1)\times(n-1). Seja A uma matriz triangular n\times n superior. Ao expandir o determinante por Laplace ao longo da primeira coluna, todos os cofatores exceto o primeiro são multiplicados por entradas a_{i1} com i>1, mas sendo A triangular superior temos a_{i1}=0 para i>1. Assim só o primeiro termo sobrevive:
\det(A)=a_{11}\det(A_{11}),
onde A_{11} é a submatriz (n-1)\times(n-1) obtida removendo a primeira linha e primeira coluna; A_{11} é novamente triangular superior. Pelo passo indutivo, \det(A_{11})=\prod_{i=2}^{n} a_{ii}. Portanto
\det(A)=a_{11}\prod_{i=2}^{n} a_{ii}=\prod_{i=1}^{n} a_{ii}.
Assim o lema está provado.

Passo 5

Aplicando o lema a A-\lambda I. Como A-\lambda I é triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=\prod_{i=1}^{n} (a_{ii}-\lambda).
Portanto o polinômio característico fatorou-se completamente e as suas raízes (com multiplicidade) são exatamente os números \lambda=a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}.

Passo 6

Conclusão sobre autovalores. Dos passos anteriores segue que as únicas soluções de \det(A-\lambda I)=0 são \lambda=a_{ii} para i=1,\dots,n. Assim os autovalores de A são exatamente os elementos da diagonal principal. Se algum valor a_{kk} se repete m vezes na diagonal, então esse autovalor aparece com multiplicidade algébrica m no polinômio característico.

Passo 7

Comentário didático sobre autovetores (já que o enunciado escreveu “autovetores”): para matrizes diagonais há uma descrição bem simples das autoespaços. Seja D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n). Para um autovalor d_k resolvemos
(D-d_k I)v=0.
Como D-d_k I é diagonal com entradas d_i-d_k na diagonal, as equações são
(d_i-d_k)\,v_i=0,\qquad i=1,\dots,n.
Logo v_i=0 sempre que d_i\neq d_k, e v_i é livre (qualquer número) sempre que d_i=d_k. Em particular:
  • Se todos os d_i são distintos, o autovalor d_k tem espaço próprio unidimensional gerado pelo vetor canônico e_k.
  • Se um valor d aparece em várias posições da diagonal, o espaço próprio correspondente é formado por vetores que podem ter entradas não-nulas apenas nas coordenadas onde a diagonal vale d (dimensão igual à multiplicidade do valor na diagonal).

Passo 8

Breve observação sobre matrizes triangulares (não-diagonais) e autovetores. Mesmo que os autovalores sejam os elementos da diagonal, os autovetores de uma matriz triangular não precisam ser vetores canônicos; para encontrá‑los resolve‑se o sistema triangular (A-\lambda I)v=0 e usa‑se substituição regressiva. Exemplo rápido para fixar a ideia: seja
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Os autovalores são 2 e 3 (a diagonal). Para \lambda=2 temos
A-2I=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
de onde y=0 e x livre, logo um autovetor é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Para \lambda=3 temos
A-3I=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
de onde -x+y=0 e x livre, então um autovetor é \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Repare que nem todos os autovetores são vetores canônicos, embora os autovalores sejam os elementos da diagonal.]

Passo 9

Dica para prova em prova: para mostrar que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal, escreva simplesmente \det(A-\lambda I)=\prod_{i=1}^n (a_{ii}-\lambda) (justifique que A-\lambda I é triangular e use que o determinante de triangular é produto dos elementos da diagonal). Isso resolve o problema de forma rápida e segura.

Resposta

Os autovalores de uma matriz triangular (ou diagonal) são exatamente os elementos da diagonal principal \;a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}.
Para uma matriz diagonal D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n), o espaço próprio associado a um autovalor d_k é formado pelos vetores que têm componentes não-nulas apenas nas coordenadas i tais que d_i=d_k.

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