Prove que:
Os autovetores de uma matriz triangular(ou diagonal) são os elementos da diagonal principal.
Os autovetores de uma matriz triangular(ou diagonal) são os elementos da diagonal principal.
Passo 1
O enunciado pede para provar a seguinte afirmação (vou escrever a forma que faz sentido matematicamente): “Prove que os autovalores de uma matriz triangular (ou diagonal) são os elementos da diagonal principal.”
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Seja
uma matriz quadrada que é triangular (por exemplo, superior triangular) — isto é, para . O caso diagonal é um caso especial em que para . - Quer-se mostrar que os autovalores de
coincidem com os elementos da diagonal principal.
Passo 2
Definição e ideia-chave (explicada devagarzinho). Um número
é autovalor de
se existe um vetor não-nulo
tal que
Isto é equivalente à existência de um vetor
na nulidade da matriz
. Logo
é autovalor se, e somente se,
A função
é o polinômio característico; suas raízes são exatamente os autovalores de
. Portanto, para identificar os autovalores basta calcular
.
Passo 3
Observação sobre a forma de
. Se
é triangular superior (o raciocínio é análogo para triangular inferior), então
também é triangular superior e seus elementos diagonais são
Ou seja, subtrair
na diagonal não altera a forma triangular, só altera os elementos da diagonal.
Passo 4
Lema importante (e fácil de provar): o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Vou provar por indução em
.
Base
. Se
então
e
, que é o produto (trivial).
Passo indutivo. Suponha verdadeiro para
. Seja
uma matriz triangular
superior. Ao expandir o determinante por Laplace ao longo da primeira coluna, todos os cofatores exceto o primeiro são multiplicados por entradas
com
, mas sendo
triangular superior temos
para
. Assim só o primeiro termo sobrevive:
onde
é a submatriz
obtida removendo a primeira linha e primeira coluna;
é novamente triangular superior. Pelo passo indutivo,
. Portanto
Assim o lema está provado.
Passo 5
Aplicando o lema a
. Como
é triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Portanto o polinômio característico fatorou-se completamente e as suas raízes (com multiplicidade) são exatamente os números
.
Passo 6
Conclusão sobre autovalores. Dos passos anteriores segue que as únicas soluções de
são
para
. Assim os autovalores de
são exatamente os elementos da diagonal principal. Se algum valor
se repete
vezes na diagonal, então esse autovalor aparece com multiplicidade algébrica
no polinômio característico.
Passo 7
Comentário didático sobre autovetores (já que o enunciado escreveu “autovetores”): para matrizes diagonais há uma descrição bem simples das autoespaços. Seja
. Para um autovalor
resolvemos
Como
é diagonal com entradas
na diagonal, as equações são
Logo
sempre que
, e
é livre (qualquer número) sempre que
. Em particular:
- Se todos os
são distintos, o autovalor tem espaço próprio unidimensional gerado pelo vetor canônico . - Se um valor
aparece em várias posições da diagonal, o espaço próprio correspondente é formado por vetores que podem ter entradas não-nulas apenas nas coordenadas onde a diagonal vale (dimensão igual à multiplicidade do valor na diagonal).
Passo 8
Breve observação sobre matrizes triangulares (não-diagonais) e autovetores. Mesmo que os autovalores sejam os elementos da diagonal, os autovetores de uma matriz triangular não precisam ser vetores canônicos; para encontrá‑los resolve‑se o sistema triangular
e usa‑se substituição regressiva. Exemplo rápido para fixar a ideia: seja
Os autovalores são
e
(a diagonal). Para
temos
de onde
e
livre, logo um autovetor é
. Para
temos
de onde
e
livre, então um autovetor é
. Repare que nem todos os autovetores são vetores canônicos, embora os autovalores sejam os elementos da diagonal.]
Passo 9
Dica para prova em prova: para mostrar que os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da diagonal, escreva simplesmente
(justifique que
é triangular e use que o determinante de triangular é produto dos elementos da diagonal). Isso resolve o problema de forma rápida e segura.
Resposta
Os autovalores de uma matriz triangular (ou diagonal) são exatamente os elementos da diagonal principal
.
Para uma matriz diagonal , o espaço próprio associado a um autovalor
é formado pelos vetores que têm componentes não-nulas apenas nas coordenadas
tais que
.
Para uma matriz diagonal