Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de um vetor a- do plano xy que faz um ângulo de 250º no sentido anti-horário com o semieixo x positivo e tem um módulo de 7,3 m?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as componentes $ x $ e $ y $ de um vetor no plano $ xy $. O vetor tem um ângulo de $ 250^\circ $ em relação ao semieixo $ x $ positivo e um módulo de $ 7,3 $ metros. Para isso, vamos precisar usar trigonometria básica, especificamente as funções seno e cosseno, que nos ajudam a decompor o vetor em suas componentes $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa decompor um vetor em suas componentes. Um vetor no plano pode ser representado por suas projeções nos eixos $ x $ e $ y $. Essas projeções são chamadas de componentes $ x $ e $ y $ do vetor. A componente $ x $ é calculada usando o cosseno do ângulo, e a componente $ y $ usando o seno do ângulo.
Passo 3
A fórmula para encontrar a componente $ x $ de um vetor é:
E para a componente $ y $:
Onde $ \theta $ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo $ x $ positivo.
Passo 4
Vamos aplicar essas fórmulas com os valores fornecidos:
- Módulo do vetor: $ 7,3 $ m
- Ângulo: $ 250^\circ $
Primeiro, calculamos a componente $ x $:
Passo 5
Em seguida, calculamos a componente $ y $:
Passo 6
Agora, precisamos calcular os valores trigonométricos de $ \cos(250^\circ) $ e $ \sin(250^\circ) $. Sabemos que $ 250^\circ $ está no terceiro quadrante, onde o cosseno é negativo e o seno também é negativo.
Usando uma calculadora:
Passo 7
Substituímos esses valores nas fórmulas das componentes:
Resposta
As componentes do vetor são:
- Componente $ x $: aproximadamente $ -2,49 $ metros
- Componente $ y $: aproximadamente $ -6,86 $ metros