Quais são as condições ideais para as constantes de ganho e de tempo do controlador de velocidade?

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta “Quais são as condições ideais para as constantes de ganho e de tempo do controlador de velocidade?”.
Matéria: resposta em malha fechada de um sistema de controle de velocidade (por ex. de um motor em corrente contínua) usando um controlador PI.
O que vamos precisar:
  • Modelo do motor (ganho estático Km e constante de tempo Tm)
  • Forma do controlador PI:
  • Noções de erro em regime permanente e de “cancelamento” de polos para ter resposta rápida e sem deslocamento de polo dominante.

Passo 2

Primeiro, recapitula o modelo de planta (o motor) que costuma ser de primeira ordem:
Gp(s)=Km1+Tm,s,
E nosso controlador de velocidade é um PI:
Gc(s)=Kpl(1+1Ti,sr) =KpTi,s+1Ti,s,
O objetivo é:
  1. Erro nulo em regime permanente para degrau de referência (por isso precisamos da ação integral).
  2. Resposta rápida sem oscilar demais (estabilidade e boa margem de fase).
  3. Cancelar o polo lento da planta pra acelerar a dinâmica.

Passo 3

Para zerar o erro em regime permanente a um degrau, basta ter ação integral, ou seja Ti = Tm, .
Mas queremos também um tempo de resposta rápido: um truque clássico é escolher o zero do PI para “cancelar” o polo da planta.
Esse zero ocorre quando , ou seja em .
Se colocarmos
então esse zero do controlador “anula” o polo da planta, deixando a malha fechada com dinâmica de primeiro-ordem mais rápida.

Passo 4

Com Gol(s)=Gc(s)Gp(s) =KpTi,s+1Ti,s;Km1+Tm s =KpKmTm,s+1Tm,s;11+Tm s,, , a função de transferência em malha aberta fica
Gol(s)=Kp,KmTm,s,
e com Kp,Km = 1 Longrightarrow Kp = 1Km, “cancela” um termo . Resta
Para que o ganho em malha fechada seja unitário (ou seja, acompanhamento perfeito de referência sem ganho extra), escolhemos

Resposta

As condições ideais são:
boxedKp=1Km e Ti = Tm,
Assim o controlador PI cancela o polo da planta, garante erro zero em regime permanente e deixa a resposta bem rápida sem instabilidade.

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