1. Se a e b são constantes quaisquer, verifique que a função y=a e^{-x}+b e^{-2 x} é solução da equação y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y = a e^{-x} + b e^{-2x}
é solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + 3y' + 2y = 0.
Para isso, vamos usar regras de derivação de exponenciais e a propriedade de superposição de soluções.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada y', aplicando a regra da cadeia em cada termo:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(a e^{-x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(b e^{-2x}\bigr) = -a e^{-x} - 2b e^{-2x}.

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter y'':
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(-a e^{-x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(-2b e^{-2x}\bigr) = a e^{-x} + 4b e^{-2x}.

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' em
y'' + 3y' + 2y.
Temos
y'' + 3y' + 2y = \bigl(a e^{-x} + 4b e^{-2x}\bigr) + 3\bigl(-a e^{-x} -2b e^{-2x}\bigr) + 2\bigl(a e^{-x} + b e^{-2x}\bigr).
Agrupando os coeficientes de e^{-x} e de e^{-2x}:
e^{-x}:\; a - 3a + 2a = 0, \quad e^{-2x}:\; 4b - 6b + 2b = 0.

Passo 5

Como ambos os coeficientes são zero, conclui-se que
y'' + 3y' + 2y = 0
para quaisquer constantes a e b. Logo, \displaystyle y = a e^{-x} + b e^{-2x}
é de fato solução da equação diferencial dada.

Resposta

A função y = a e^{-x} + b e^{-2x} satisfaz
y'' + 3y' + 2y = 0.

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