1. Se f(x)=3 x^{4}+x^{3}-2 x, calcule as derivadas f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0) e f^{(30)}(0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=3x^{4}+x^{3}-2x
e pede para calcular f'(0), f''(0) e f^{(30)}(0). O conteúdo que vamos usar é a derivação de polinômios, aplicando a regra de potência que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(ax^{n}\bigr)=a\,n\,x^{n-1}.

Passo 2

Vamos obter as duas primeiras derivadas de f. Usando a regra de potência em cada termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr) =3\cdot4\,x^{3}+1\cdot3\,x^{2}-2 =12x^{3}+3x^{2}-2.
Agora derivamos de novo para ter f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}(2) =12\cdot3\,x^{2}+3\cdot2\,x+0 =36x^{2}+6x.

Passo 3

Avaliar em x=0:
f'(0)=12\cdot0^{3}+3\cdot0^{2}-2=-2,
f''(0)=36\cdot0^{2}+6\cdot0=0.

Passo 4

Como f é um polinômio de grau 4, todas as derivadas de ordem maior que 4 são identicamente zero em qualquer ponto. Em particular,
f^{(30)}(0)=0.

Resposta

f'(0)=-2 f''(0)=0 f^{(30)}(0)=0

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