A superfície total de um cubo é 294 \mathrm{~cm}^{2}. Se as medidas da aresta, da diagonal da face e da diagonal do cubo são as dimensões de um paralelepípedo reto retângulo, então o volume desse paralelepípedo é igual a:
(A) 49 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{3}
(B) 343 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{3}
(C) 343 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{3}
(D) 147 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{3}
(E) 343 \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: a superfície total de um cubo é \,294\\ \mathrm{cm}^2.
  • Informação: as três medidas — a aresta do cubo, a diagonal da face do cubo e a diagonal espacial (do cubo) — são as três dimensões (arestas) de um paralelepípedo reto retângulo.
  • Pergunta: qual é o volume desse paralelepípedo?

Passo 2

Primeiro vamos extrair a medida da aresta do cubo a partir da área total.
Lembrete: a superfície total de um cubo com aresta \,a é a soma das áreas das 6 faces quadradas, ou seja
6a^2.
Pelo enunciado temos
6a^2 = 294.
Agora resolvemos para \,a.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 6,
a^2 = \frac{294}{6}.
Calculando a divisão,
a^2 = 49.
Como \,a é uma medida de comprimento positiva, temos
a = 7\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Agora vamos obter a diagonal da face (diagonal do quadrado de lado \,a).
Conceito usado: no quadrado de lado \,a, a diagonal \,d_f satisfaz o Teorema de Pitágoras numa configuração de dois catetos iguais:
d_f^2 = a^2 + a^2 = 2a^2.
Portanto
d_f = a\sqrt{2}.
Substituindo a=7,
d_f = 7\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora a diagonal espacial (diagonal do cubo).
Conceito usado: a diagonal espacial \,d_s de um cubo de aresta \,a é a distância entre dois vértices opostos no espaço; aplicando Pitágoras primeiro na face e depois em 3D:
d_s^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2,
logo
d_s = a\sqrt{3}.
Com a=7,
d_s = 7\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Fórmula do volume do paralelepípedo reto retângulo: é o produto das três dimensões ortogonais. Aqui as dimensões dadas são \,a, \,d_f e \,d_s. Logo o volume \,V é
V = a \cdot d_f \cdot d_s.
Substituindo as expressões em função de a,
V = a \cdot (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{3}) = a^3 \sqrt{2}\sqrt{3} = a^3 \sqrt{6}.

Passo 7

Agora substituímos a=7:
V = 7^3 \sqrt{6} = 343\sqrt{6}\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

(E) 343 \sqrt{6}\\ \mathrm{cm}^3

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