A superfície total de um cubo é
. Se as medidas da aresta, da diagonal da face e da diagonal do cubo são as dimensões de um paralelepípedo reto retângulo, então o volume desse paralelepípedo é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: a superfície total de um cubo é
. - Informação: as três medidas — a aresta do cubo, a diagonal da face do cubo e a diagonal espacial (do cubo) — são as três dimensões (arestas) de um paralelepípedo reto retângulo.
- Pergunta: qual é o volume desse paralelepípedo?
Passo 2
Primeiro vamos extrair a medida da aresta do cubo a partir da área total.
Lembrete: a superfície total de um cubo com aresta é a soma das áreas das 6 faces quadradas, ou seja
Lembrete: a superfície total de um cubo com aresta
Pelo enunciado temos
Agora resolvemos para
.
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
,
Calculando a divisão,
Como
é uma medida de comprimento positiva, temos
Passo 4
Agora vamos obter a diagonal da face (diagonal do quadrado de lado
).
Conceito usado: no quadrado de lado , a diagonal
satisfaz o Teorema de Pitágoras numa configuração de dois catetos iguais:
Conceito usado: no quadrado de lado
Portanto
Substituindo
,
Passo 5
Agora a diagonal espacial (diagonal do cubo).
Conceito usado: a diagonal espacial de um cubo de aresta
é a distância entre dois vértices opostos no espaço; aplicando Pitágoras primeiro na face e depois em 3D:
Conceito usado: a diagonal espacial
logo
Com
,
Passo 6
Fórmula do volume do paralelepípedo reto retângulo: é o produto das três dimensões ortogonais. Aqui as dimensões dadas são
,
e
. Logo o volume
é
Substituindo as expressões em função de
,
Passo 7
Agora substituímos
:
Resposta
(E)