Um plano secciona uma esfera de 30 cm de diâmetro. Sabendo que a distância do plano ao centro da esfera é 9 cm , então a área da secção obtida é igual a:
(A) 81 \pi \mathrm{~cm}^{2}
(B) 121 \pi \mathrm{~cm}^{2}
(C) 144 \pi \mathrm{~cm}^{2}
(D) 169 \pi \mathrm{~cm}^{2}
(E) 225 \pi \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma esfera com diâmetro 30 cm e um plano que a secciona. A distância do centro da esfera até o plano é 9 cm. A pergunta é: qual é a área da seção obtida (a seção é a interseção do plano com a esfera)? As informações relevantes que temos são:
  • diâmetro da esfera =30 cm (logo, vamos poder obter o raio);
  • distância do plano ao centro da esfera =9 cm.

Passo 2

Entendendo a geometria do problema (aula rápida): quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo. Se chamarmos:
  • R o raio da esfera (distância do centro da esfera à superfície),
  • d a distância do centro da esfera ao plano (dado no enunciado),
  • r o raio do círculo de interseção,
    então, ao olhar para o plano que contém o centro da esfera e é perpendicular ao plano da secção, formamos um triângulo retângulo cujos catetos são d e r e cuja hipotenusa é R. Por isso vale a relação (Teorema de Pitágoras):
r^{2} + d^{2} = R^{2}.
Explicando o Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Aqui a hipotenusa é a linha do centro da esfera até a superfície (que tem comprimento R), e os outros dois lados são a distância do centro ao plano ( d) e o raio do círculo de seção ( r).

Passo 3

Calcular R a partir do diâmetro: o raio da esfera é metade do diâmetro, então
R = \frac{30}{2} = 15\\ \text{cm}.

Passo 4

Usar a relação r^{2} + d^{2} = R^{2} para encontrar r. Substituindo R=15 e d=9,
r^{2} = R^{2} - d^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 225 - 81 = 144.
Portanto
r = \sqrt{144} = 12\\ \text{cm}.

Passo 5

A área do círculo de seção é dada pela fórmula da área do círculo:
A = \pi r^{2},
onde r é o raio do círculo. Substituindo r=12,
A = \pi \cdot 12^{2} = 144\pi\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

(C) 144\pi\\ \mathrm{cm}^{2}

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