Um plano secciona uma esfera de 30 cm de diâmetro. Sabendo que a distância do plano ao centro da esfera é 9 cm , então a área da secção obtida é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá uma esfera com diâmetro
cm e um plano que a secciona. A distância do centro da esfera até o plano é
cm. A pergunta é: qual é a área da seção obtida (a seção é a interseção do plano com a esfera)? As informações relevantes que temos são:
- diâmetro da esfera
cm (logo, vamos poder obter o raio); - distância do plano ao centro da esfera
cm.
Passo 2
Entendendo a geometria do problema (aula rápida): quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo. Se chamarmos:
-
o raio da esfera (distância do centro da esfera à superfície), -
a distância do centro da esfera ao plano (dado no enunciado), -
o raio do círculo de interseção,
então, ao olhar para o plano que contém o centro da esfera e é perpendicular ao plano da secção, formamos um triângulo retângulo cujos catetos sãoe e cuja hipotenusa é . Por isso vale a relação (Teorema de Pitágoras):
Explicando o Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Aqui a hipotenusa é a linha do centro da esfera até a superfície (que tem comprimento
), e os outros dois lados são a distância do centro ao plano (
) e o raio do círculo de seção (
).
Passo 3
Calcular
a partir do diâmetro: o raio da esfera é metade do diâmetro, então
Passo 4
Usar a relação
para encontrar
. Substituindo
e
,
Portanto
Passo 5
A área do círculo de seção é dada pela fórmula da área do círculo:
onde
é o raio do círculo. Substituindo
,
Resposta
(C)